Fórmula importante
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estraveneca
Nina Luizet
Elcioschin
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Fórmula importante
Relembrando a primeira mensagem :
A recorrência de uma importante fórmula na Matemática, na Física e na Química
Comumente nos deparamos, ao estudar Matemática, Física e Química, com a seguinte fórmula:
1/x = 1/a1 + 1/a2 + … + 1/an
Certamente muitos profissionais a usam, no dia-a-dia: Engenheiros, Matemáticos, Geólogos, Físicos, Astrônomos, Economistas, Médicos, Professores de Matemática e Física, Eletricistas, Eletrônicos, etc.
Vejamos alguns exemplos:
1) Em Matemática temos o conceito de Média Harmônica: por exemplo, a média harmônica (Mh) de n números a1, a2, ... an é dada por:
Mh = n/(1/a1 + 1/a2 + … + 1/an) ou n/Mh = 1/a1 + 1/a2 + ⋯ + 1/an ou
1/(Mh/n) = 1/a1 + 1/a2 + … + 1/an
https://pir2.forumeiros.com/t204416-matematica-basica-fracoes#701801
2) Num heptágono regular ABCDEFG temos: 1/AB = 1/AC + 1/AD
https://pir2.forumeiros.com/t4798-ufjf-1965-heptagono-regular?highlight=Hept%C3%A1gono
3) Na figura da questão abaixo onde AM // BN // PC, temos: 1/CP = 1/AM + 1/BN
https://pir2.forumeiros.com/t109293-hungria-1905#380144
4) Numa questão sobre polígonos regulares:
https://pir2.forumeiros.com/t120163-poligonos-regulares#418764
5) Numa questão sobre um triângulo especial:
https://pir2.forumeiros.com/t120433-baltica-98#419765
6) Numa questão sobre trapézio retângulo:
https://pir2.forumeiros.com/t124133-trapezio-retangulo#433194
7) Numa questão sobre séries geométricas, envolvendo parte do cálculo da energia média de uma onda, de acordo com a hipótese de Planck:
.......∞ ..................... 1 ........... 1 ........ 1 ........ 1 ........ 1
.. ∑ e-n.α = --------- = ----- + ----- + ----- + ----- + .......
......n=0 ......... 1 - e-α ....... e0 ...... eα .... e2.α .... e3.α
8 ) Nos famosos problemas sobre torneiras, por exemplo: uma torneira A enche um tanque num tempo Ta e outra B num tempo Tb; o tempo T para ambas encherem o tanque é dado por: 1/T = 1/Ta + 1/Tb
E a questão admite variantes, como por exemplo: o dreno do tanque esvazia o tanque num tempo Td; com o tanque cheio e ambas as torneiras e o dreno abertos, o tanque é esvaziado num tempo T dado por: 1/T = 1/Ta + 1/Tb - 1/Td
Ex.: https://pir2.forumeiros.com/t170936-razao-e-proporcao#597799
9 ) Na mecânica, quando um móvel em MRU percorre duas distâncias iguais d, com velocidades médias Va e Vb, a velocidade média final é dada por:
1/Vm = 1/2.Va + 1/2.Vb ou 1/(Vm/2) = 1/Va + 1/Vb --> 2/Vm = 1/Va + 1/Vb
https://pir2.forumeiros.com/t204416-matematica-basica-fracoes#701801
10) Na associação de molas em série: 1/keq = 1/k1 + 1/k2 + 1/k3 + ......
11) Na Óptica, temos a Equação de Gauss: 1/f = 1/p + 1/p'
12) Na Eletricidade, para n resistores em paralelo: 1/Re = 1/R1 + 1/R2 + … + 1/Rn
O mesmo vale para o resistor interno equivalente de geradores em paralelo
13) Na Eletricidade, para n capacitores em série: 1/Ce = 1/C1 + 1/C2 + … + 1/Cn
14) Na Eletricidade, o cálculo do potencial de várias cargas Q num determinado ponto e da energia potencial elétrica de uma carga q colocada neste ponto:
U = k.Q1/r1 + k.Q2/r2 + k.Q3/r3 + ..... --->1/(k/U) = 1/(r1/Q1)+ 1/(r2/Q2) + 1/(r3/Q3) .....
Ep = k.Q1.q/r1 + k.Q2.q/r2 + k.Q3.q/r3 + ..... ---> 1/(k.q/Ep) = 1/(r1/Q1) + 1/(r2/Q2) + 1/(r3/Q3)+ ....
15) Num problema prático sobre grandezas proporcionais:
https://pir2.forumeiros.com/t137294-grandezas-proporcionais#481059
16) Numa questão sobre duas caixas de som:
https://pir2.forumeiros.com/t140555-duas-pilhas-e-uma-caixa-de-som#492508
17) Numa questão sobre carregamento de caminhões:
https://pir2.forumeiros.com/t15927-resolvidocms-2007-carregando-caminhao
18) Numa questão sobre duas portas em uma boite:
https://pir2.forumeiros.com/t144246-questao-de-aritmetica#507596
19) Numa questão sobre "Relação do raio do círculo inscrito e os raios dos três círculos ex-inscritos em um triângulo": a solução está numa mensagem posterior a esta.
20) Numa questão sobre Química: https://pir2.forumeiros.com/t142619-sera-ou
21) Numa questão sobre rendimentos na execução de determinada atividade:
https://pir2.forumeiros.com/t148825-simulado-bernoulli-2018
Artigo com novos itens sugeridos pelos colegas Nina Luizet, estraveneca, InocencioHildebrandoCeara, William Honorio
22) Há outro exemplo na Física, também com conceito de massa reduzida. Dois blocos de massas M1 e M2 unidos por uma única mola descrevendo um MHS pode ser tratado como um sistema único de massa reduzida dada por:
(1/Mreduzida)=(1/M1)+(1/M2).
23) Na Geometria Euclidiana. Expressão que nos fornece o valor da altura relativa à hipotenusa num triângulo retângulo: (1/h² )= (1/b²) + (1/c²) em que b e c são os catetos.
24) Na Óptica, a fórmula para calcular a vergência de n lentes justapostas: (1/feq) = (1/f1) + (1/f2) +...+ (1/fn)
https://pir2.forumeiros.com/t183780-lentes-em-maquina-fotografica
25) Numa questão de Geometria Plana, sobre dois muros abalados por um terremoto:
https://pir2.forumeiros.com/t16012-semelhanca-de-triangulos-e-teorema-de-tales#526504
26) Numa questão de Máquinas com capacidades diferentes: https://pir2.forumeiros.com/t159088-algebra#557620
27) Numa questão sobre produtividade de trabalhadores:
https://pir2.forumeiros.com/t162189-unifor-2014-q2-razao-e-proporcao#568202
28) Numa questão sobre as alturas de um triângulo qualquer e raio do círculo inscrito
https://pir2.forumeiros.com/t170946-desafio-matematica9-1-2-geometria-plana
29) Numa questão sobre manutenção de estradas numa fazenda, postada pelo colega CogitoErgoGre:
https://pir2.forumeiros.com/t171704-fip-moc-medicina-2019-razao-e-proporcao#600380
30) Numa questão sobre pilhas alcalinas que alimentam uma caixa de som, com média harmônica, postada pelo colega ike:
https://pir2.forumeiros.com/t177057-alcalinas#616847
31) Numa questão de Geometria com triângulo e três retas paralelas passando pelos vértices:
https://pir2.forumeiros.com/t182134-triangulos
32) Numa questão sobre produtividade de costureiras: https://pir2.forumeiros.com/t182698-produtividade
33) Similar ao 32: https://pir2.forumeiros.com/t197654-regra-de-tres#680809
34) Numa questão sobre o comprimento da bissetriz x de um ângulo interno:
https://pir2.forumeiros.com/t201300-teorema-da-bissetriz
Certamente o presente artigo poderá ser enriquecido com outros exemplos. Contribuam.
A recorrência de uma importante fórmula na Matemática, na Física e na Química
Comumente nos deparamos, ao estudar Matemática, Física e Química, com a seguinte fórmula:
1/x = 1/a1 + 1/a2 + … + 1/an
Certamente muitos profissionais a usam, no dia-a-dia: Engenheiros, Matemáticos, Geólogos, Físicos, Astrônomos, Economistas, Médicos, Professores de Matemática e Física, Eletricistas, Eletrônicos, etc.
Vejamos alguns exemplos:
1) Em Matemática temos o conceito de Média Harmônica: por exemplo, a média harmônica (Mh) de n números a1, a2, ... an é dada por:
Mh = n/(1/a1 + 1/a2 + … + 1/an) ou n/Mh = 1/a1 + 1/a2 + ⋯ + 1/an ou
1/(Mh/n) = 1/a1 + 1/a2 + … + 1/an
https://pir2.forumeiros.com/t204416-matematica-basica-fracoes#701801
2) Num heptágono regular ABCDEFG temos: 1/AB = 1/AC + 1/AD
https://pir2.forumeiros.com/t4798-ufjf-1965-heptagono-regular?highlight=Hept%C3%A1gono
3) Na figura da questão abaixo onde AM // BN // PC, temos: 1/CP = 1/AM + 1/BN
https://pir2.forumeiros.com/t109293-hungria-1905#380144
4) Numa questão sobre polígonos regulares:
https://pir2.forumeiros.com/t120163-poligonos-regulares#418764
5) Numa questão sobre um triângulo especial:
https://pir2.forumeiros.com/t120433-baltica-98#419765
6) Numa questão sobre trapézio retângulo:
https://pir2.forumeiros.com/t124133-trapezio-retangulo#433194
7) Numa questão sobre séries geométricas, envolvendo parte do cálculo da energia média de uma onda, de acordo com a hipótese de Planck:
.......∞ ..................... 1 ........... 1 ........ 1 ........ 1 ........ 1
.. ∑ e-n.α = --------- = ----- + ----- + ----- + ----- + .......
......n=0 ......... 1 - e-α ....... e0 ...... eα .... e2.α .... e3.α
8 ) Nos famosos problemas sobre torneiras, por exemplo: uma torneira A enche um tanque num tempo Ta e outra B num tempo Tb; o tempo T para ambas encherem o tanque é dado por: 1/T = 1/Ta + 1/Tb
E a questão admite variantes, como por exemplo: o dreno do tanque esvazia o tanque num tempo Td; com o tanque cheio e ambas as torneiras e o dreno abertos, o tanque é esvaziado num tempo T dado por: 1/T = 1/Ta + 1/Tb - 1/Td
Ex.: https://pir2.forumeiros.com/t170936-razao-e-proporcao#597799
9 ) Na mecânica, quando um móvel em MRU percorre duas distâncias iguais d, com velocidades médias Va e Vb, a velocidade média final é dada por:
1/Vm = 1/2.Va + 1/2.Vb ou 1/(Vm/2) = 1/Va + 1/Vb --> 2/Vm = 1/Va + 1/Vb
https://pir2.forumeiros.com/t204416-matematica-basica-fracoes#701801
10) Na associação de molas em série: 1/keq = 1/k1 + 1/k2 + 1/k3 + ......
11) Na Óptica, temos a Equação de Gauss: 1/f = 1/p + 1/p'
12) Na Eletricidade, para n resistores em paralelo: 1/Re = 1/R1 + 1/R2 + … + 1/Rn
O mesmo vale para o resistor interno equivalente de geradores em paralelo
13) Na Eletricidade, para n capacitores em série: 1/Ce = 1/C1 + 1/C2 + … + 1/Cn
14) Na Eletricidade, o cálculo do potencial de várias cargas Q num determinado ponto e da energia potencial elétrica de uma carga q colocada neste ponto:
U = k.Q1/r1 + k.Q2/r2 + k.Q3/r3 + ..... --->1/(k/U) = 1/(r1/Q1)+ 1/(r2/Q2) + 1/(r3/Q3) .....
Ep = k.Q1.q/r1 + k.Q2.q/r2 + k.Q3.q/r3 + ..... ---> 1/(k.q/Ep) = 1/(r1/Q1) + 1/(r2/Q2) + 1/(r3/Q3)+ ....
15) Num problema prático sobre grandezas proporcionais:
https://pir2.forumeiros.com/t137294-grandezas-proporcionais#481059
16) Numa questão sobre duas caixas de som:
https://pir2.forumeiros.com/t140555-duas-pilhas-e-uma-caixa-de-som#492508
17) Numa questão sobre carregamento de caminhões:
https://pir2.forumeiros.com/t15927-resolvidocms-2007-carregando-caminhao
18) Numa questão sobre duas portas em uma boite:
https://pir2.forumeiros.com/t144246-questao-de-aritmetica#507596
19) Numa questão sobre "Relação do raio do círculo inscrito e os raios dos três círculos ex-inscritos em um triângulo": a solução está numa mensagem posterior a esta.
20) Numa questão sobre Química: https://pir2.forumeiros.com/t142619-sera-ou
21) Numa questão sobre rendimentos na execução de determinada atividade:
https://pir2.forumeiros.com/t148825-simulado-bernoulli-2018
Artigo com novos itens sugeridos pelos colegas Nina Luizet, estraveneca, InocencioHildebrandoCeara, William Honorio
22) Há outro exemplo na Física, também com conceito de massa reduzida. Dois blocos de massas M1 e M2 unidos por uma única mola descrevendo um MHS pode ser tratado como um sistema único de massa reduzida dada por:
(1/Mreduzida)=(1/M1)+(1/M2).
23) Na Geometria Euclidiana. Expressão que nos fornece o valor da altura relativa à hipotenusa num triângulo retângulo: (1/h² )= (1/b²) + (1/c²) em que b e c são os catetos.
24) Na Óptica, a fórmula para calcular a vergência de n lentes justapostas: (1/feq) = (1/f1) + (1/f2) +...+ (1/fn)
https://pir2.forumeiros.com/t183780-lentes-em-maquina-fotografica
25) Numa questão de Geometria Plana, sobre dois muros abalados por um terremoto:
https://pir2.forumeiros.com/t16012-semelhanca-de-triangulos-e-teorema-de-tales#526504
26) Numa questão de Máquinas com capacidades diferentes: https://pir2.forumeiros.com/t159088-algebra#557620
27) Numa questão sobre produtividade de trabalhadores:
https://pir2.forumeiros.com/t162189-unifor-2014-q2-razao-e-proporcao#568202
28) Numa questão sobre as alturas de um triângulo qualquer e raio do círculo inscrito
https://pir2.forumeiros.com/t170946-desafio-matematica9-1-2-geometria-plana
29) Numa questão sobre manutenção de estradas numa fazenda, postada pelo colega CogitoErgoGre:
https://pir2.forumeiros.com/t171704-fip-moc-medicina-2019-razao-e-proporcao#600380
30) Numa questão sobre pilhas alcalinas que alimentam uma caixa de som, com média harmônica, postada pelo colega ike:
https://pir2.forumeiros.com/t177057-alcalinas#616847
31) Numa questão de Geometria com triângulo e três retas paralelas passando pelos vértices:
https://pir2.forumeiros.com/t182134-triangulos
32) Numa questão sobre produtividade de costureiras: https://pir2.forumeiros.com/t182698-produtividade
33) Similar ao 32: https://pir2.forumeiros.com/t197654-regra-de-tres#680809
34) Numa questão sobre o comprimento da bissetriz x de um ângulo interno:
https://pir2.forumeiros.com/t201300-teorema-da-bissetriz
Certamente o presente artigo poderá ser enriquecido com outros exemplos. Contribuam.
Última edição por Elcioschin em Sáb 13 Abr 2024, 17:30, editado 35 vez(es)
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 72203
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Giovana Martins, magalhaes194, CogitoErgoGre, Arlindocampos07 e Lucas_DN684 gostam desta mensagem
Re: Fórmula importante
Mais uma questão acrescentada:
https://pir2.forumeiros.com/t124133-trapezio-retangulo#433194
https://pir2.forumeiros.com/t124133-trapezio-retangulo#433194
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 72203
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Re: Fórmula importante
Outra, semelhante ao problema do raio postado. Relação do raio do círculo inscrito e os raios dos círculos exinscritos a um triângulo:
1/r=1/ra+1/rb+1/rc
No momento estou no fórum pelo celular, quando estiver pelo computador eu demonstro aqui.
1/r=1/ra+1/rb+1/rc
No momento estou no fórum pelo celular, quando estiver pelo computador eu demonstro aqui.
Willian Honorio- Matador
- Mensagens : 1271
Data de inscrição : 27/04/2016
Idade : 27
Localização : São Paulo
Re: Fórmula importante
Excelente William, estamos aguardando!
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 72203
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Re: Fórmula importante
Hoje, 18/08/2017, foi postada uma nova questão resolvível pela fórmula em questão:
https://pir2.forumeiros.com/t137294-grandezas-proporcionais#481059
Assim que receber a informação do colega William, posto ambas na mensagem original.
https://pir2.forumeiros.com/t137294-grandezas-proporcionais#481059
Assim que receber a informação do colega William, posto ambas na mensagem original.
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 72203
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Re: Fórmula importante
Willian Honorio escreveu:Outra, semelhante ao problema do raio postado. Relação do raio do círculo inscrito e os raios dos círculos exinscritos a um triângulo:
1/r=1/ra+1/rb+1/rc
No momento estou no fórum pelo celular, quando estiver pelo computador eu demonstro aqui.
Seja o triângulo ABC da figura:
![Fórmula importante - Página 2 Relayy10](https://i.servimg.com/u/f11/19/61/69/46/relayy10.png)
Onde ''Eia'', ''Eib'', ''Eic'' são os exinscentros desse triângulo. Relativamente ao exincentro de A, é fácil perceber que a área do triângulo ABC é dada por:
Relativamente a B:
E analogamente a C tem-se:
Dessas relações:
Ainda outra:
Podemos também calcular o raio do círculo inscrito em função das alturas relativas aos lados do triângulo ABC:
Expressões como essas são muito comuns nas ciências exatas.
Willian Honorio- Matador
- Mensagens : 1271
Data de inscrição : 27/04/2016
Idade : 27
Localização : São Paulo
Re: Fórmula importante
Excelente William!!!
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 72203
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Re: Fórmula importante
Mais uma questão acrescentada à lista em 23/10/2017:
https://pir2.forumeiros.com/t140555-duas-pilhas-e-uma-caixa-de-som#492508
https://pir2.forumeiros.com/t140555-duas-pilhas-e-uma-caixa-de-som#492508
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 72203
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Re: Fórmula importante
Mais uma questão acrescentada à lista em 23/11/2017:
https://pir2.forumeiros.com/t141962-uninassau-2016
https://pir2.forumeiros.com/t141962-uninassau-2016
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 72203
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Re: Fórmula importante
Mais uma questão acrescentada a lista em 28/11/2017:
https://pir2.forumeiros.com/t15927-resolvidocms-2007-carregando-caminhao
https://pir2.forumeiros.com/t15927-resolvidocms-2007-carregando-caminhao
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 72203
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Re: Fórmula importante
Mais numa questão acrescentada à lista em 27/01/2018:
https://pir2.forumeiros.com/t144246-questao-de-aritmetica#507596
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Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 72203
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
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![-](https://2img.net/i/empty.gif)
» Como escrevo a fórmula da queda livre a partir do repouso e a fórmula do lançamento vertical para baixo?
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