[Produtos Notáveis] a + b + c = 0

Bom dia,
Se a + b + c = 0 então a^3 + b^3 + c^3 vale:

Gabarito: 3abc

Vi essa questão no meu livro e mostrei a um colega que me auxiliou, disse que "a^3 + b^3 + c^3" é um produto notável de resultado 3abc, mas fiquei realmente curioso em como chegar a esse resultado, como sou uma pessoa que só consegue aprender entendendo como é feito, seria de grande ajuda visualizar com mais clareza como chegar a esse resultado.

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2.a.b + 2.a.c + 2.b.c ---> Como a + b + c = 0 ---> 

0 = a² + b² + c² + 2.a.b + 2.a.c + 2.b.c

Calcule (a + b + c)³ = (a + b + c).(a + b + c)² = a³ + b³ + c³ + ..... + 6.a.b.c

Como a + b + c = 0 ---> 0 = a³ + b³ + c³ + ... + 6.a.b.c

Tente continuar.

Existem muitas formas pra lidar com esse problema. Recentemente alguém postou uma pergunta sobre isso, e acredito que a Giovana Martins respondeu. Mas ela é muito ativa no fórum e não consegui encontrar o tópico. O problema é que não tenho certeza se foi ela mesmo quem respondeu e nem se foi aqui mesmo que vi kkk

Eu vou resolver de uma maneira que não é a mais direta e nem a mais elegante, mas acredito que acrescenta muito no conhecimento pra lidar com esse tipo de expressão:

Considere o polinomio p(x) = (x-a)(x-b)(x-c)
Ou seja, p(x) é o polinomio que tem raízes a,b,c. Repare que ao desenvolvermos o produto, pelas relaçoes de Girard, obteremos:
p(x) =x³ - (a+b+c)x² + (ab+bc+ca)x - abc

No caso desse problema, sabemos que a+b+c = 0. O coeficiente ab+bc+ca não é muito importante pra essa questão, então vamos chamá-lo de K apenas. Ou seja, o polinomio p(x) é da forma:

p(x) = x³ + Kx - abc

Sabemos que a,b,c são raízes de p(x), ou seja, p(a) = p(b) = p(c)= 0. Isso implica que :
a³ + Ka - abc = 0
b³ + Kb - abc = 0
c³ + Kc - abc = 0

Somando essas 3 igualdades ficamos com:
(a³+b³+c³) + K(a+b+c) - 3abc = 0

Usando novamente que a+b+c = 0 ficamos com:
a³+b³+c³ - 3abc = 0
a³+b³+c³ = 3abc

ISso resolve a questão. O ponto é que considerar esse tipo de polinomio é muito útil em questões que somas do tipo a^n + b^n + c^n.


Você pode tentar depois deduzir que
a³+b³+c³ = (a+b+c)(a²+b²+c²)- (ab+bc+ca)(a+b+c) +3abc

O produto notavel que te falaram pode ser esse aqui:
a³+b³+c³ - 3abc = (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)
que é justamente a equação anterior reescrita


Ou então o caso mais geral (pesquise por somas de newton ou polinomios simétricos que deve aparecer algo, caso queira saber mais do assunto)
\( \displaystyle  a^{n} + b^{n} + c^{n} = (a+b+c)(a^{n-1} + b^{n-1} + c^{n-1}) - (ab+bc+ca)(a^{n-2}+b^{n-2}+c^{n-2}) + abc(a^{n-3}+b^{n-3}+c^{n-3})\)


Por fim, outra identidade útil que envolve a³+b³+c³ é a seguinte:
a³+b³+c³ = (a+b+c)³  - 3(a+b)(b+c)(c+a)

Pra resolver o seu problema com ela basta notar que a+b+c= 0 implica a+b = -c, b+c = -a, c+a = -b. Daí:
a³+b³+c³ = 0³ - 3(-c)(-a)(-b) = 3abc

Foi essa mesmo!!