(ITA-2003) Colisões Unidimensionais

Eu tentei resolver a questão e não consegui chegar no resultado, queria pedir a ajuda de alguém para me mostrar onde eu errei.


Questão: Quando solto na posição angular de 45° (mostrada na figura), um pêndulo simples de massa m e comprimento L colide com um bloco de massa M. Após a colisão, o bloco desliza sobre uma superfície rugosa, cujo coeficiente de atrito dinâmico é igual a 0,3. Considere que após a colisão, ao retornar, o pêndulo alcance uma posição angular máxima de 30°. Determine a distância percorrida pelo bloco em função de m, M e L.



Gabarito:

Spoiler:

Antes do choque.
\[E_\text{p}=mg\Delta L=mg\left(L-L\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\]
\[E_\text{p}=mgL\left(\frac{2-\sqrt{2}}{2}\right)\]
No instante prévio ao choque.
\[E_\text{c}=E_\text{p}\]
\[\frac{1}{2}mv_1^2=mgL\left(\frac{2-\sqrt{2}}{2}\right)\]
sendo \(v_1\) a velocidade da massa \(m\) no ponto mais baixo de sua trajetória.
\[\color{blue}v_1=\sqrt{gL\left(2-\sqrt{2}\right)}\]
Impondo a condição de conservação do momento linear logo após a colisão.
\[mv_1=-mv_2+MV\]
onde \(v_2\) é a velocidade de recuo da massa \(m\) imediatamente após ao choque e \(V\) a velocidade adquirida pela massa \(M\).

Cálculo de \(v_2\) de forma similar a \(v_1\):
\[E_\text{p}=mg\Delta L=mg\left(L-L\cos 30^\circ\right)=mgL\left(\frac{2-\sqrt{3}}{2}\right)\]
\[E_\text{c}=E_\text{p}\]
\[\frac{1}{2}mv_2^2=mgL\left(\frac{2-\sqrt{3}}{2}\right)\]
\[\color{blue}v_2=\sqrt{gL\left(2-\sqrt{3}\right)}\]
Conservação do momento linear.
\[mv_1=-mv_2+MV\]
\[MV=mv_1+mv_2\]
\[MV=m\sqrt{gL\left(2-\sqrt{2}\right)}+m\sqrt{gL\left(2-\sqrt{3}\right)}\]
\[\color{blue} V=\frac{m\sqrt{gL}}{M}\left(\sqrt{2-\sqrt{2}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)\]
O trabalho da força de atrito é igual à variação da energia cinética da massa \(M\).
\[Mg\mu d=\frac{1}{2}MV^2\]
em que \(d\) é a distância percorrida pela massa \(M\).
\[d=\frac{V^2}{2g\mu}\]
\[d=\frac{1}{2g\mu}\left[\frac{m\sqrt{gL}}{M}\left(\sqrt{2-\sqrt{2}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)\right]^2\]
\[d=\frac{m^2gL}{2M^2g\mu}\left(\sqrt{2-\sqrt{2}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)^2\]
\[d=\dfrac{m^2L}{M^2\mu}\left[\frac{2-\sqrt{2}+2-\sqrt{3}}{2}+\frac{2\left(\sqrt{2-\sqrt{2}}\right)\left(\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)}{2}\right]\]
Inserindo a informação \(\mu=0,\!3=\dfrac{3}{10}\).
\[\color{red}d=\dfrac{10m^2L}{3M^2}\left[\frac{4-\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2}+\sqrt{\left(2-\sqrt{2}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}\right]\]