EN -1983

A raiz da função é:

Resposta: x=1/3

Seja \( \alpha = \textrm{arccot}\, \dfrac{1}{7x-1} = \arccos \dfrac{1}{2x+1}\)

Então temos

\(\cot \alpha = \dfrac{1}{7x-1} \implies (7x-1)\cos \alpha = \sin\alpha \implies (7x-1)^2 \cos^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha\)

e também

\( \cos \alpha = \dfrac{1}{2x+1} \)

Logo:

\( (7x-1)^2 \dfrac{1}{(2x+1)^2 }= 1 - \dfrac{1}{(2x+1)^2} \implies (7x-1)^2 = (2x+1)^2 - 1\)

Daí
\(49x^2 - 14x + 1 = 4x^2 + 4x\)

\(45x^2 - 18x + 1 = 0 \implies x = \dfrac 13 \textrm{ ou } x = \dfrac{1}{15}\)

Como elevamos ao quadrado, precisamos conferir as raizes. No caso x = 1/15 não serve pois implica 1/(7x-1) < 0 e 1/(2x+1) > 0

DaoSeek escreveu:Seja \( \alpha = \textrm{arccot}\, \dfrac{1}{7x-1} = \arccos \dfrac{1}{2x+1}\)

Então temos

\(\cot \alpha = \dfrac{1}{7x-1} \implies (7x-1)\cos \alpha = \sin\alpha \implies (7x-1)^2 \cos^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha\)

e também

\( \cos \alpha = \dfrac{1}{2x+1} \)

Logo:

\( (7x-1)^2 \dfrac{1}{(2x+1)^2 }= 1 - \dfrac{1}{(2x+1)^2} \implies (7x-1)^2 = (2x+1)^2 - 1\)

Daí
\(49x^2 - 14x + 1 = 4x^2 + 4x\)

\(45x^2 - 18x + 1 = 0 \implies x = \dfrac 13 \textrm{ ou } x = \dfrac{1}{15}\)

Como elevamos ao quadrado, precisamos conferir as raizes. No caso x = 1/15 não serve pois implica 1/(7x-1) < 0 e 1/(2x+1) > 0

Muito obrigada!