(ITA-56) Energia Mecânica

por Victor Luz Qua 02 maio 2018, 13:38

Num plano vertical está colocado um trilho com a forma da figura, sendo que, de A até B tem-se uma semi-circunferência de raio r=1,0 m. A partir da altura h=1,2 m abandona-se um pequeno corpo que desliza sem atrito sobre o trilho, devido à ação da gravidade
a) Quais as coordenadas do ponto P no qual a massa abandona o trilho caindo depois livremente?
b) Nesta queda livre, em que posição a massa corta o eixo dos y?

gabarito:

por **Giovana Martins** Sáb 05 maio 2018, 20:12

Não vou conseguir terminar a questão agora, mas vou deixar a letra A pronta (só vou conseguir postar uma imagem quando eu estiver em casa, pois estou sem meu notebook). Se alguém quiser prosseguir com a resolução, sem problemas.

por RafaelSchuinki Ter 30 Jun 2020, 17:17

Alguém resolve o resto?

por **Giovana Martins** Hoje à(s) 15:05

O colega Rafael Schuinki ficou chateado comigo, pois eu não dei continuação à questão. Devo ter me esquecido à época ou então eu não sabia resolver. Não me recordo. Peço desculpas.

De qualquer modo, antes tarde do que nunca.

Vamos à resolução do item A.

\[\mathrm{E_{m,i}=E_{m,f}\to \frac{1}{2}mv_{P}^2+mgy_{P}=mgh\ (i)}\]

\[\mathrm{F_{cp}=mgcos(\beta )\to \frac{mv_{P}^2}{R}=mgcos(\beta )\ \therefore\ v_{P}^2=Rgcos(\beta )\ (ii)}\]

\[\mathrm{\frac{1}{2}Rgcos(\beta )+y_{P}=h\ (iii)}\]

Assim:

\[\mathrm{cos(\beta )=\frac{y_{P}}{R}\ \therefore\ y_{P}=\frac{2}{3}h\ \therefore\ \boxed{\mathrm{y_{P}=\frac{4}{5}\ m}}}\]

\[\mathrm{x_{P}=\sqrt{R^2-y_{P}^2}\ \therefore\ \boxed{\mathrm{x_{P}=\frac{3}{5}\ m}}}\]

Vamos à resolução do item B.

No ponto P a semiesfera tem velocidade tangencial v_P conforme indicado em (ii). Decompondo esta velocidade sob o ângulo β, teremos:

\[\mathrm{v_{P,x}=v_{P}sin(\beta )=sin(\beta )\sqrt{Rgcos(\beta)}}\]

\[\mathrm{v_{P,y}=v_{P}cos(\beta )=cos(\beta )\sqrt{Rgcos(\beta)}}\]

Das equações do movimento da semiesfera:

\[\mathrm{\cancelto{0}{\mathrm{x(t)}}=x_{P}-v_{P}sin(\beta )=x_{P}-sin(\beta )\sqrt{Rgcos(\beta)}t\ \therefore\ t=\frac{\sqrt{2}}{4}\ s}\]

\[\mathrm{y(t)=y_{P}+v_{P}cos(\beta )t-\frac{1}{2}gt^2=y_{P}+cos(\beta )\sqrt{Rgcos(\beta)}t-\frac{1}{2}gt^2}\]

\[\mathrm{y(t)=\frac{4}{5}+\frac{4}{5}\cdot \sqrt{1\cdot 10\cdot \frac{4}{5}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{1}{2}\cdot 10\cdot \left (\frac{\sqrt{2}}{4} \right )^2}\]

\[\mathrm{\boxed{\therefore\ \mathrm{y(t)=\frac{39}{40}\ m}}}\]