(UFJF - 1965) Heptágono Regular

por **Elcioschin** Seg 25 Jan 2010, 09:32

Este também é um bom desafio (caiu no meu vestibular em 1965 na Universidade Federal de Juiz de Fora- UFJF):

Num heptágono regular ABCDEFGA prove que 1/AB = 1/AC + 1/AD

por **Elcioschin** Ter 02 Fev 2010, 21:48

Antes que caia no esquecimento:

Considere o quadrilátero inscrito ACDE

É óbvio que AD = AE (diagonal que subtende 3 lados consecutivos)

É óbvio que AC = CE (diagonal que subtende 2 lados consecutivos).

CD = DE = AB (lados do heptágono)

Teorema de Ptolomeu (às vezes confundido com o Teorema de Hiparco): O produto das diagonais é igual à soma dos produtos dos lados opostos:

AD*CE = CD*AE + AC*DE ----> AD*AC = AB*AD + AC*AB

Dividindo os dois membros por AB*AC*AD ----> 1/AB = 1/AC + 1/AD

por **Medeiros** Dom 11 Set 2016, 02:59

Vi somente hoje mas ... se tivesse caído no meu vestibular, eu tinha "rodado".

por **Elcioschin** Dom 11 Set 2016, 10:03

Medeiros

No vestibular de 1965, em que eu entrei na faculdade, nenhum dos participantes acertou a questão, inclusive eu. E existe uma história curiosa a respeito:

No 2º ano da faculdade, na cadeira de Geometria Analítica 3D, meu professor chamava-se Morgado (excelente professor, do Rio de Janeiro). Até hoje ele está em atividade no IMPA (Instituto de Matemática Pura e Aplicada no Rio de Janeiro) e é muito famoso na área.

Em conversa de corredor, na faculdade, eu e outros colegas questionamos o Morgado sobre a dificuldade desta questão no vestibular. Ele caiu na risada e disse que ele é quem tinha escolhido esta questão para postar na prova.

Então eu perguntei a ele qual era o caminho para resolvê-la e ele respondeu que a questão era muito fácil e que existiam 2 caminhos: por Trigonometria ou Geometria Plana. Ele, morrendo de rir, nos perguntou se ainda nos lembrávamos da matemática dos dois últimos anos do Ensino Fundamental (naquela época se chamava ginasial).

Em seguida só deu uma dica: Teorema de Hiparco. Confesso que eu não me lembrava deste teorema. Busquei livros do ginasial, da minha época (livros do prof. Ary Quintela, pelos quais eu tinha estudado) e consegui encontrar; estudei o assunto e vi a demonstração do Teorema. Ai foi uma "moleza": consegui resolver com facilidade a questão.

Depois de muitos anos, já formado, tentei resolver por Trigonometria e não tive sucesso. Aceita o desafio? Quem sabe algum colega do fórum aceita e consegue resolver?

por **Medeiros** Dom 11 Set 2016, 12:19

Por trigonometria?...arrg!! Eu fujo do desafio.
Mas a história é interessantíssima, obrigado por tê-la compartilhado.

por **Elcioschin** Qui 01 Fev 2024, 13:13

Medeiros

Depois de tantos anos apareceu outra solução:

https://pir2.forumeiros.com/t203463-heptagono-regular-convexo#698624

por **Medeiros** Dom 04 Fev 2024, 03:54

Elcioschin escreveu:Medeiros

Depois de tantos anos apareceu outra solução:

https://pir2.forumeiros.com/t203463-heptagono-regular-convexo#698624

eu vi. Muito boa, erudita. Seria essa que o Morgado tinha lhe comentado?

por Pliniao Dom 04 Fev 2024, 07:37

Elcioschin escreveu:Medeiros

No vestibular de 1965, em que eu entrei na faculdade, nenhum dos participantes acertou a questão, inclusive eu. E existe uma história curiosa a respeito:

No 2º ano da faculdade, na cadeira de Geometria Analítica 3D, meu professor chamava-se Morgado (excelente professor, do Rio de Janeiro). Até hoje ele está em atividade no IMPA (Instituto de Matemática Pura e Aplicada no Rio de Janeiro) e é muito famoso na área.

Em conversa de corredor, na faculdade, eu e outros colegas questionamos o Morgado sobre a dificuldade desta questão no vestibular. Ele caiu na risada e disse que ele é quem tinha escolhido esta questão para postar na prova.

Então eu perguntei a ele qual era o caminho para resolvê-la e ele respondeu que a questão era muito fácil e que existiam 2 caminhos: por Trigonometria ou Geometria Plana. Ele, morrendo de rir, nos perguntou se ainda nos lembrávamos da matemática dos dois últimos anos do Ensino Fundamental (naquela época se chamava ginasial).

Em seguida só deu uma dica: Teorema de Hiparco. Confesso que eu não me lembrava deste teorema. Busquei livros do ginasial, da minha época (livros do prof. Ary Quintela, pelos quais eu tinha estudado) e consegui encontrar; estudei o assunto e vi a demonstração do Teorema. Ai foi uma "moleza": consegui resolver com facilidade a questão.

Depois de muitos anos, já formado, tentei resolver por Trigonometria e não tive sucesso. Aceita o desafio? Quem sabe algum colega do fórum aceita e consegue resolver?

Caraca, você conheceu e teve aula com o Morgado, que demais!! Assisto diversos cortes de aulas antigas dele

por **Giovana Martins** Dom 04 Fev 2024, 13:20

Segue uma resolução via semelhança de triângulos. Não darei os créditos a quem propôs esta resolução, pois eu não sei quem teve a ideia. Conheço esta resolução a partir de apostilas de olimpíadas.

Circunscrevendo uma circunferência ao heptágono regular inferimos que o quadrilátero ABCD é cíclico.

Façamos algumas construções de tal modo que seja possível construirmos relações de semelhança, por exemplo, ∆BCH ~ ∆ADH pelo critério A.A.A..

Pelo critério A.L.A. (dois ângulos congruentes e lado entre os ângulos congruente) os triângulos ∆ACE e ∆ADH são congruentes.

[latex]\mathrm{\Delta BCH \sim \Delta ADH\to \frac{\overline{BC}}{\overline{BH}}=\frac{\overline{AD}}{\overline{AH}}\ (i)}[/latex]

[latex]\mathrm{Da\ figura\ \overline{AC}= \overline{AH}\ (ii).\ Tamb\acute{e}m\ da\ figura:\overline{BH}=\overline{AH}-\overline{AB}\ (iii)}[/latex]

[latex]\mathrm{De\ (i), (ii)\ e\ (iii):\frac{\overline{BC}}{\overline{AC}-\overline{AB}}=\frac{\overline{AD}}{\overline{AC}}\to\overline{ AB}\cdot \overline{AD}=\overline{AC}\cdot \overline{AD}-\overline{BC}\cdot \overline{AC}}[/latex]

[latex]\mathrm{\frac{\overline{AB}\cdot \overline{AD}}{\overline{AB}\cdot \overline{AC}\cdot \overline{AD}}=\frac{\overline{AC}\cdot \overline{AD}}{\overline{AB}\cdot \overline{AC}\cdot\overline{ AD}}-\frac{\overline{BC}\cdot \overline{AC}}{\overline{AB}\cdot \overline{AC}\cdot \overline{AD}}\to \frac{1}{\overline{AC}}=\frac{1}{\overline{AB}}-\frac{\overline{BC}}{\overline{AB}\cdot \overline{AD}}}[/latex]

[latex]\\\\\\ \\\\ \\\\ \\\\ \mathrm{Mas\ note,pela\ figura,que\ \overline{BC}=\overline{AB},logo,\frac{1}{\overline{AC}}=\frac{1}{\overline{AB}}-\frac{1}{\overline{AD}}\ \therefore\ \boxed {\mathrm{\frac{1}{\overline{AB}}=\frac{1}{\overline{AC}}+\frac{1}{\overline{AD}}}}}[/latex]