Volume de sólidos

Dê o volume do sólido Q limitado inferiormente por um cone S1, de equação x²+y²=z² e superiormente pela esfera S2 de equação x²+y²+(z-1)²=1

A equação da esfera pode ser reescrita como x²+y²+z² = 2z.

Para entender a interseção do cone com a esfera, estudamos o sistema:
x²+y² = z²
x²+y²+z² = 2z

Concluímos que 2z² =2z o que implica que z = 0  ou z=1. Logo, a esfera e o cone se encontram na origem e também em um círculo contido no plano z =1 com raio 1.

Em coordenadas esféricas, a equação x²+y²+z² = 2z vira \(\rho^2 = 2\rho \cos \phi \implies \rho = 2 \cos \phi\) e o cone tem abertura de 45°. Logo, o sólido é descrito em coordenadas esféricas pelas desigualdades:

\( 0 \leq \theta \leq 2\pi\)
\( 0 \leq \phi \leq \dfrac \pi 4\)
\(0 \leq \rho \leq 2 \cos \phi\)

Portanto, seu volume é dado por

\(\displaystyle V = \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/4}\int_0^{2 \cos \phi} \rho^2 \sin \phi\, d\rho d\phi d \theta\)


\( \displaystyle V = 2 \pi \int_0^{\pi/4}\dfrac{8 \cos^3 \phi}{3} \sin \phi d\phi\)

Pra resolver essa integral, use a mudança de variável \(t =  \cos \phi  \implies dt = -\sin \phi d\phi\):

\( \displaystyle V = \dfrac{16\pi}3 \int_{\sqrt 2 /2}^1 t^3 dt =  \pi\)


Você também pode resolver esse problema com geometria espacial, sem cálculo. No caso, o sólido é formado por uma semi esfera de raio 1 e um cone de altura 1 e raio da base 1. Logo o volume será:

\( \displaystyle V = \dfrac 12 \left( \dfrac{4}3 \pi r^3\right) + \dfrac{\pi r^2h}3 =  \dfrac {2\pi}3 + \dfrac{\pi}3 = \pi\)