Teorema da Bissetriz

Pessoal, recentemente vi essa fórmula abaixo para calcular o valor da bissetriz interna de um triângulo, nunca tinha visto, ela é aplicável para quaisquer ângulos ou apenas para 60° ? Normalmente eu aplicaria o teorema da bissetriz interna e depois faria stuart, mas da muito trabalho algébrico.

Só vale para esse ângulo de 60°.
A fórmula completa e genética genérica é
x = 2*(ab/(a+b))*cos60°

Obrigado, mestre Medeiros.
No caso eu consigo aplicar essa fórmula para demais casos apenas alterando o ângulo, (exemplo se eu fosse fazer para 30 em um triangulo equilátero x = 2*(ab/(a+b))*cos30°) ?

Sim

Incrível, mestre!

Boa tarde!

Me lembrei dessa fórmula aqui também:
[latex]x=\dfrac{a+b}{2\cos\theta}[latex]

Apenas escrevendo melhor, para o Jvictors, a fórmula que citei acima.

Dado um triângulo qualquer, se conhecemos dois lados (a, b) e o ângulo θ entre eles, a medida da bissetriz desse ângulo é dada pela:
ou seja:

Notem que:

x/2.cos(θ/2) = 1/a + 1/b

1/[2.cos(θ/2)/x] = 1/a + 1/b

Isto nos remete à Fórmula importante do artigo:

https://pir2.forumeiros.com/post?p=411382&mode=editpost

Já acrescentei esta questão no item 34 do artigo.

Baltuilhe, gostei demais da fórmula que você trouxe e eu não conhecia. Não sei como ela foi deduzida mas fui tentar descobrir como chegar nela; fiz assim:




1) esta deve ser conhecida mas nunca vi em lugar algum e a deduzi muito tempo atrás:

2) e sobre cevianas isogonais o Morgado ensina:


[latex]\\de\ (2)\ \to\ m=\frac{ab}{x}\ \,\,\,\,\,\,\,\,\, (3)[/latex]



Não sei se este é o caminho original mas foi o que consegui

Complementando para conhecimento geral


[latex]T.Coss: \triangle ACD:\triangle DCB\\ m^2 = b^2+m^2-2bm cos \theta(I)\\ n^2 = a^2+m^2-2am cos\theta(II)\\ T.Biss: \frac{m}{n}=\frac{b}{a}\implies (\frac{m}{m})^2=\frac{b^2}{a^2}\\ \frac{I}{II}:\frac{b^2}{a^2}=\frac{b^2+m^2-2bm cos \theta}{a^2+m^2-2am cos\theta} \implies \\\cancel{a^2b^2}+b^2m^2-2ab^2mcos\theta=\cancel{a^2b^2}+a^2m^2-2a^2bmcos\theta\\ m\cancel{^2}(b^2-a^2))= 2ab\cancel{m}cos\theta(b-a)\\ m\cancel{(b-a)}(b+a) =2ab cos\theta\cancel{(b-a)}\\ \therefore \boxed{l= \frac{2abcos \theta}{a+b}}[/latex]

ou

[latex]S_\triangle ABC = S_\triangle ACD + S_\triangle DCB\\ \frac{ab.sen2\theta}{\cancel{2}} = \frac{bl.sen\theta}{\cancel{2}}+\frac{al.sen \theta}{\cancel{2}}\\ ab.2 \cancel{sen \theta} cos \theta=l\cancel{sen}\theta(a+b)\\ \therefore \boxed{l = \frac{2abcos\theta}{a+b}}[/latex]

ou
T.Stweart:[latex]a^2m+b^2n=(m+n)(l^2+mn) \implies a.am+b.bn=(m+n)(l^2+mn)\\ T.Bisset: am =bn \implies abn+abm = (m+n)(l^2+mn)\\ ab\cancel{(m+n)}=\cancel{(m+n)}(l^2+mn)\\ \therefore \boxed{l^2=ab-mn}[/latex]