Teorema da Bissetriz

Relembrando a primeira mensagem :

Pessoal, recentemente vi essa fórmula abaixo para calcular o valor da bissetriz interna de um triângulo, nunca tinha visto, ela é aplicável para quaisquer ângulos ou apenas para 60° ? Normalmente eu aplicaria o teorema da bissetriz interna e depois faria stuart, mas da muito trabalho algébrico.

Medeiros, boa tarde!

Há uma forma mais simples de se obter a fórmula, mas vou deixar o caso geral aqui, que é mais interessante ainda
Usando-se o Teorema de Ptolomeu na figura abaixo:

[latex]A\cdot(2R\sin(\theta_2))+B\cdot(2R\sin(\theta_1))=X\cdot(2R\sin(\theta_1+\theta_2))[latex]

Cancelando-se 2R em ambos os lados, e isolando-se a variável X, teremos:
[latex]X=\dfrac{A\sin(\theta_2)+B\sin(\theta_1)}{\sin(\theta_1+\theta_2)}[latex]

O caso de [latex]\theta_1=\theta_2=\theta[latex]:

[latex]X=\dfrac{A\sin(\theta)+B\sin(\theta)}{\sin(2\theta)}=\dfrac{A\sin(\theta)+B\sin(\theta)}{2\sin(\theta)\cos(\theta)}=\dfrac{A+B}{2\cos(\theta)}[latex]

Espero ter contribuído!

Pessoal, hoje por acaso encontrei uma questão que se tratava justamente sobre isso, do colégio naval 2004.
Irei deixá-la abaixo a fim de que alguém em um futuro próximo possa fazer a aplicação da equação que o mestre Medeiros explicou.

Seja ABC um triângulo de lados AB = 12 cm e AC = 4 cm. Sabendo que a área do triângulo mede 12√3 cm², determine a medida da bissetriz interna que parte do vértice A.

A) √3
B) 2√3
C) 3√3
D) 4√3
E)5√3

Gabarito letra C.
Bastava aplicar a fórmula da área do triângulo para achar o ângulo.

Área = a.b.sen(2θ)/2 

Por fim
Medida da bissetriz = 2.(a.b.cos(θ))/(a+b)

Facilita muito a vida do candidato. 
Abraço a todos!