Sistema de equações/matrizes

Fessor, vi esta questão e, após algumas tentativas, não obtive qualquer êxito em resolve-la.


O sistema
x^2 = 0
2x + y^3 = 0
z^2 + t^3 = 6yz
admite a solução  (0, 0, z, t). Então, para todo ALFA (número qualquer) pertencente ao conjunto dos números reais (R), o sistema também admite a solução
a) (0,0, alfa.z, alfa.t)
b) (0,0, alfa^2.z, alfa^2.t)
c) (0, 0, alfa^2.z, alfa^3.t)
d) (0, 0, alfa^3.z, alfa^2.t
e) (alfa, alfa, alfa+z, alfa+t)


Se fosse um sistema homogêneo, bastaria calcular o determinate da matriz composta pelos coeficientes da variáveis do sistema impondo a condição de que ele seja nulo... Mas,    como não é homogêneo, pela regra de Cramer, para que seja possível, o determinate não pode ser nulo... 
 Fiquei travado neste ponto da resolução: para que tenha várias soluções, fiz 6yz=0 para que ele seja homogêneo  e anulei o determinante também, porém nada consegui...
Em mais alguma tentativa, calculei o determinate por Laplace e encontrei zero... Então, para que ele fosse indeterminado, a última equação deveria ser nula; assim t e z valem zero também... Dessa forma, imaginei que seria a alternativa E... Mas, não tenho certeza alguma...Poderia me dá uma luz... Não tenho o gabarito dela...

Temos [latex] x^2 = 0 [/latex] se, e somente se, [latex]  x = 0 [/latex]. (Os reais são um domínio de integridade).

Daí [latex]  2x + y^3 =  y^3 = 0 [/latex], o que implica y = 0.

Daí [latex] z^2 + t^3 = 6yz =0 [/latex] , o que implica[latex]  z^2=  -t^3 [/latex]. Logo temos [latex] \alpha^6 z^2 = -\alpha^6t^3 \implies (\alpha^3 z)^2 = -(\alpha^2 t)^3 [/latex]. Logo [latex] (0,0, \alpha^3z, \alpha^2 t) [/latex] é solução.

A resposta é  d) (0, 0, alfa^3.z, alfa^2.t). Creio que seja isso

Como disse, tentei fazer por Crame e, como o determinante deu nulo, a única foorma de o sistema ter alguma solução é sendo homogêneo. Assim, 6yz=0 atende a condição de homogeneidade do sistema... Não tenho o gabarito, mas imagino que sua interpretação do problema está adequada sim...

wadekly escreveu:Como disse, tentei fazer por Crame e, como o determinante deu nulo, a única foorma de o sistema ter alguma solução é sendo homogêneo.  Assim, 6yz=0 atende a condição de homogeneidade do sistema... Não  tenho o gabarito, mas imagino que sua interpretação do problema está adequada sim...

Então, cramer só funcionaria se fosse um sistema linear. O sistema em questão não é linear.

Amigo, perdoe-me a ignorância, mas NUNCA soube disso... Então, a regra de Cramer não é usada em sistema não linear em nenhuma circunstância...?! Nos casos de sistemas não lineares, sempre devemos encontrar variável por variável...?! Uma curiosidade, porque Cramer não é empregado em sistemas não lineares...?! MUITÍSSIMO grato pela empatia em responder e cooperar

Só existe um meio de ser possível, por exemplo:

a.x² + b.y² + c.z² = k

d.x² + e.y² + f.z² = m

g.x² + h.y² + i.z² = n

Substituindo x², y², z² por x', y', z':

a.x' + b.y' + c.z' = k

d.x' + e.y' + f.z' = m

g.x' + h.y' + i.z' = n

Este é um sistema linear nas variáveis x', y', z'

Acho que entendir, Elcio... A condição suprema para aplicar Cramer deve ser um sistema linear sempre, certo...?!

Sim!