Gravitação

Por que o satélite geoestacionário tem a mesma velocidade angular da Terra e dois planetas ao redor do Sol, em orbitas diferentes, têm velocidades inversamente proporcional ao raio da órbita de cada um?

Para entender a razão pela qual um satélite geoestacionário tem a mesma velocidade angular da Terra e porque dois planetas em órbitas diferentes ao redor do Sol têm velocidades inversamente proporcionais ao raio da órbita, precisamos explorar alguns conceitos fundamentais de mecânica celeste. Um satélite geoestacionário é aquele que orbita a Terra com uma velocidade angular tal que ele permanece fixo em relação a um ponto específico na superfície da Terra. Para que isso aconteça, a sua órbita deve ter um período orbital igual ao período de rotação da Terra, que é de aproximadamente 24 horas. A velocidade angular \(\omega\) de qualquer objeto em órbita é dada por: \[ \omega = \frac{2\pi}{T} \] onde \(T\) é o período orbital. Para um satélite geoestacionário, \(T = 24\) horas. Além disso, a força centrípeta necessária para manter o satélite em órbita é fornecida pela força gravitacional entre o satélite e a Terra. Matematicamente, isso é expresso como: \[ F_c = \frac{G M m}{r^2} \] onde \(G\) é a constante gravitacional, \(M\) é a massa da Terra, \(m\) é a massa do satélite, e \(r\) é o raio da órbita. Para que o satélite permaneça em uma órbita circular, a força centrípeta deve ser igual à força gravitacional: \[ m \omega^2 r = \frac{G M m}{r^2} \] Simplificando: \[ \omega^2 r = \frac{G M}{r^2} \] \[ \omega = \sqrt{\frac{G M}{r^3}} \] Para um satélite geoestacionário, a velocidade angular \(\omega\) é ajustada para que o satélite tenha o mesmo período de rotação que a Terra, resultando na sua posição fixa relativa a um ponto na superfície terrestre. Para planetas orbitando o Sol, aplicamos a terceira lei de Kepler, que estabelece que o quadrado do período orbital \(T\) de um planeta é proporcional ao cubo do semi-eixo maior \(a\) da sua órbita elíptica: \[ T^2 \propto a^3 \] Isso pode ser reescrito como: \[ T^2 = k a^3 \] onde \(k\) é uma constante que depende da massa do Sol e da constante gravitacional. A velocidade orbital \(v\) de um planeta é dada por: \[ v = \frac{2 \pi a}{T} \] Substituindo a relação de Kepler, temos: \[ v = \frac{2 \pi a}{\sqrt{k a^3}} = \frac{2 \pi}{\sqrt{k}} \cdot \frac{1}{\sqrt{a}} \] Portanto, a velocidade orbital \(v\) é inversamente proporcional à raiz quadrada do raio da órbita \(a\). Isso explica por que planetas mais próximos do Sol se movem mais rapidamente em suas órbitas do que planetas mais distantes.

Nice, obrigada pela resposta, QED!