Radiciação

Simplifique passo a passo:  √[3+2∛(2√2)]-√[3-2∛(2√2)]

Primeiro observamos que

\( \sqrt[3]{2\sqrt 2} = \sqrt[3]{2^{1+\frac 12}} = \sqrt[3]{2^{\frac 32}} = 2^{ \frac{ 3/2}{3}} = 2^{\frac 12} = \sqrt 2\)

Portanto, a expressão que queremos simplificar é o mesmo que

\(E = \sqrt{3 + 2\sqrt 2} - \sqrt{3 - 2\sqrt 2}\)

Elevando ao quadrado obtemos:

\( E^2 = (3 + 2\sqrt 2) -2 \sqrt{(3 + 2\sqrt 2)(3 - 2\sqrt 2)} +  (3 - 2\sqrt 2) \)

\(E^2 = 6  - 2 \sqrt{9-8} = 4\)

Como E > 0, a única possibilidade é E = 2.



Outra maneira de resolver é perceber que:

\(3 + 2\sqrt 2 = 1 + 2\cdot 1 \cdot \sqrt 2 + (\sqrt 2)^2 = (1+\sqrt 2)^2\)

\(3 - 2\sqrt 2 = 1 - 2\cdot 1 \cdot \sqrt 2 + (\sqrt 2)^2 = (1 - \sqrt 2 )^2\)

Logo:

\(E = \sqrt{ (1+\sqrt 2)^2} - \sqrt{(1-\sqrt 2)^2 } = |1+\sqrt 2| - |1-\sqrt 2| = (1+\sqrt 2) - (\sqrt2-1) = 2\)

DaoSeek escreveu:Primeiro observamos que

\( \sqrt[3]{2\sqrt 2} = \sqrt[3]{2^{1+\frac 12}} = \sqrt[3]{2^{\frac 32}} = 2^{ \frac{ 3/2}{3}} = 2^{\frac 12} = \sqrt 2\)

Portanto, a expressão que queremos simplificar é o mesmo que

\(E = \sqrt{3 + 2\sqrt 2} - \sqrt{3 - 2\sqrt 2}\)

Elevando ao quadrado obtemos:

\( E^2 = (3 + 2\sqrt 2) -2 \sqrt{(3 + 2\sqrt 2)(3 - 2\sqrt 2)} +  (3 - 2\sqrt 2) \)

\(E^2 = 6  - 2 \sqrt{9-8} = 4\)

Como E > 0, a única possibilidade é E = 2.



Outra maneira de resolver é perceber que:

\(3 + 2\sqrt 2 = 1 + 2\cdot 1 \cdot \sqrt 2 + (\sqrt 2)^2 = (1+\sqrt 2)^2\)

\(3 - 2\sqrt 2 = 1 - 2\cdot 1 \cdot \sqrt 2 + (\sqrt 2)^2 = (1 - \sqrt 2 )^2\)

Logo:

\(E = \sqrt{ (1+\sqrt 2)^2} - \sqrt{(1-\sqrt 2)^2 } = |1+\sqrt 2| - |1-\sqrt 2| = (1+\sqrt 2) - (\sqrt2-1) = 2\)

Boa tarde, tudo bem??

Uma dúvida: Na sua segunda resolução, porque o quadrado da soma dos termos se tornou módulo?

Leia: https://pir2.forumeiros.com/t65744-prove-que-raiz-de-x-x

AlyneArgen escreveu:
Uma dúvida: Na sua segunda resolução, porque o quadrado da soma dos termos se tornou módulo?

É que o símbolo √ sempre tem como resultado a raiz quadrada positiva. Por exemplo, sabemos que (-2)² = 4 = (+2)². Mas quando calculamos \(\sqrt 4\) obtemos como resposta apenas o valor positivo. Ou seja,

\( \sqrt{(-2)^2} = \sqrt{4} = +2 \)

\( \sqrt{(+2)^2} = \sqrt 4 = +2\)

Assim, quando temos uma expressão como \(\sqrt {x^2}\), o resultado será igual a |x|. No caso da questão, repare que \(1-\sqrt 2 < 0\). Daí o correto é:

\( \sqrt{(1-\sqrt 2)^2} = \sqrt 2 - 1\)