Vértice de Máximo e Mínimo

Boa noite, colegas!
Estava a fazer algumas questões de cálculo de derivadas quando me deparei com uma envolvendo máximo de uma função quadrática. Estranhei, pois nunca tinha visto ainda uma questão de derivadas abordar o assunto. Quando vi a resolução, estava no padrão de resposta um método que envolvia a derivação da função e assumindo f'(x) = 0, resultando no lado máximo para a área máxima. Vou elucidar a questão:

1) Um fazendeiro possui um terreno retangular, com 3 lados livres e o outro com um rio a seu lado. Ele vai colocar um cercado de arame de 1.000m totais nos lados livres. Qual a área máxima do terreno?

Considerei os lado como x (lado maior) e y (lado menor).

2x + y = 1000
y = 1000 - 2x
Área(A) = x.y

A(x) = -2x² + 1000x
d/dx A(x) = -4x + 1000

A'(x) = 0
0 = -4x +1000
-4x = -1000
x = 250
y = 500

Área Máxima = 125.000


Fiquei intrigado e usei a ferramenta do Desmos para entender o porquê da igualdade em f'(x) = 0:



Fiz este e vários outros como teste. Notei que a derivada de uma função quadrática genérica f(x) sempre tem, quando y = 0, abscissa exatamente no valor onde a ordenada da função quadrática é máxima. Daí o cálculo da área máxima. Porque isso acontece? Fiquei curioso quanto a isso..

Giovana Martins escreveu:

Seja a função quadrática genérica f(x) adiante:

\[\mathrm{f(x)=ax^{2}+bx+c}\]

O vértice da parábola é dado por:

\[ \mathrm{V\left ( -\frac{b}{2a},-\frac{\Delta }{4a} \right )}\]

A derivada de f(x) é dada por:

\[ \mathrm{\frac{df(x)}{dx}=\frac{d}{dx}(ax^{2}+bx+c)\ \therefore\ \frac{df(x)}{dx}=2ax+b}\]

Ao igualar a derivada a zero, em exercícios que envolvem processos de otimizações, descobre-se o que é designado por pontos críticos, veja:

\[ \mathrm{\frac{df(x)}{dx}=2ax+b=0\ \therefore\ x=-\frac{b}{2a}}\]

Note que ao tentar descobrir os pontos críticos de f(x), em se tratando de uma função quadrática, recai-se exatamente na abscissa do vértice da parábola, sendo esta abscissa o valor de x que faz com que a função quadrática assuma o seu valor máximo quando a < 0.

Foi exatamente o que eu disse acima, mas com outras palavras, rs.
Eu tive essa curiosidade justamente pelas equações de Yv e Xv dadas. A gente (estudantes do e.m) vemos essas fórmulas pré-prontas e não sabemos a origem delas. É muito legal entender agora de onde elas vem. Obrigado pelo esclarecimento, Giovana. Aliás, um bom dia!

matheus_feb

Numa outra questão sua, denominada "Dúvida conceitual - Limites" você estava em dúvida sobre o real significado de derivada.

Eu respondi assim:

Imagine uma curva f(x), por exemplo no 1º quadrante (pode ser uma parábola, um ramo de hipérbole, uma curva logarítmica, uma curva exponencial, uma senóide, etc).

Escolha um ponto P da curva e por P trace uma uma reta tangente à curva, até encontrar o eixo x em A
Marque o ângulo θ = PÂX+

O valor numérico da derivada da curva, no ponto P(xP, yP) nada mais é do que tgθ


Se vc tivesse lido com cuidado minha resposta, claramente poderia compreender que:

1) Numa parábola, escolhamos o ponto P como sendo o vértice V(xV, yV) da parábola.
2) Traçando uma reta tangente à parábola, no seu vértice, vê-se que ela á paralela ao eixo x
3) Isto significa que o ângulo entre esta reta tangente e o eixo x vale 0º
4) Significa também que tgθ = 0, isto é, a derivada da função f(x) da parábola, no vértice, é nula: f'(x) = 0

Elcioschin escreveu:matheus_feb

Numa outra questão sua, denominada "Dúvida conceitual - Limites" você estava em dúvida sobre o real significado de derivada.

Eu respondi assim:

Imagine uma curva f(x), por exemplo no 1º quadrante (pode ser uma parábola, um ramo de hipérbole, uma curva logarítmica, uma curva exponencial, uma senóide, etc).

Escolha um ponto P da curva e por P trace uma uma reta tangente à curva, até encontrar o eixo x em A
Marque o ângulo θ = PÂX+

O valor numérico da derivada da curva, no ponto P(xP, yP) nada mais é do que tgθ


Se vc tivesse lido com cuidado minha resposta, claramente poderia compreender que:

1) Numa parábola, escolhamos o ponto P como sendo o vértice V(xV, yV) da parábola.
2) Traçando uma reta tangente à parábola, no seu vértice, vê-se que ela á paralela ao eixo x
3) Isto significa que o ângulo entre esta reta tangente e o eixo x vale 0º
4) Significa também que tgθ = 0, isto é, a derivada da função f(x) da parábola, no vértice, é nula: f'(x) = 0

Perdão, mestre Elcio.
Admito que não havia compreendido muito bem, pois ainda me carecia um pouco de rigor formal quanto à compreensão de derivadas. Vendo agora, o senhor está completamente certo. Muito obrigado pela paciência de retornar seu pensamento aqui, você também está me ajudando muito em Cálculo. Tenha uma ótima noite.

Entendo
Só um complemento importante:

O valor tgθ corresponde ao coeficiente angular da reta tangente à curva, no ponto P.