O vértice da parábola y = f(x)

por **rodrigoneves** Dom 24 Jan 2016, 22:23

Vamos ver uma demonstração um pouco diferente da localização do vértice (x_0, y_0) de uma parábola do tipo y = f(x) .
Para tanto, supomos ser conhecido o fato de que essa parábola apresenta um eixo de simetria vertical, de equação x = x_0 .
O vértice da parábola y = f(x) CRBJs3I

Como trata-se de uma função, a parábola tem equação da forma y =ax^2+bx+c, onde a constante a não é nula.
Em consequência da definição de simetria, teremos que valores distintos de x, equidistantes de x_0, apresentam a mesma imagem por f.
O vértice da parábola y = f(x) LoCSl6j

Isto é:
\\ \forall k, f(x_0+k)=f(x_0-k) \\ a(x_0+k)^2+b(x_0+k)+c=a(x_0-k)^2+b(x_0-k)+c\\a[(x_0+k)^2 - (x_0-k)^2] + b(x_0+k-x_0+k) = 0 \\a(x_0+k+x_0-k)(x_0+k-x_0+k) + b\cdot2k = 0 \\a\cdot 2x_0\cdot 2k + b\cdot 2k = 0 \Leftrightarrow 2akx_0 = -bk
O resultado acima deve ser verdadeiro para todo k, não apenas k = 0. Isto ocorre se, e somente se,
\\ 2ax_0 = -b , ou melhor,
\\ \boxed{x_0 = \frac{-b}{2a}}
Para calcularmos o valor de y_0, basta aplicarmos f em x_0.
\\y_0 = f(x_0) = a\left(\frac{-b}{2a}\right)^2 + b\left(\frac{-b}{2a}\right)+c \overset{...}{=} \frac{4ac-b^2}{4a}, ou seja,
\\ \boxed{y_0 = \frac{-\Delta}{4a}}

por **Robson Jr.** Seg 25 Jan 2016, 18:45

O método convencional para encontrar as coordenadas do vértice da parábola envolve um uso de derivadas que, embora pouco complexo, foge ao escopo do grande público deste fórum: os estudantes a nível de ensino médio. Em contrapartida, a sua demonstração, rodrigoneves, não só está dentro do nível de conhecimento esperado desse tipo de estudante, como também elucida de maneira simples a origem de uma das propriedades mais frequentes nos exames de matemática anteriores ao ensino superior.

Ficou muito legal. Parabéns!

por **rodrigoneves** Seg 25 Jan 2016, 19:09

Muito obrigado, Robson! Fico feliz por ter gostado.

por **Ashitaka** Sáb 07 maio 2016, 17:33

Para a ≠ 0 e coeficientes reais,
y = ax² + bx + c = a(x² + bx/a + c/a) = a(x² + bx/a + b²/(4a²) - b²/(4a²) + c/a) = a[(x + b/(2a))² + (4ac - b²)/(4a²)] = a(x + b/(2a))² - ∆/(4a)

a(x + b/(2a))² = y + ∆/(4a)

1) a > 0 ----> a(x + b/(2a))² ≥ 0 ----> Ocorre mínimo, que é 0, para x = -b/2a.
Logo, x_v = -b/(2a). Neste caso, y + ∆/(4a) = 0 ----> y_v = -∆/(4a).

2) a < 0 ----> a(x + b/(2a))² ≤ 0 ----> Ocorre máximo, que é 0, para x = -b/2a.
Logo, x_v = -b/(2a). Neste caso, y + ∆/(4a) = 0 ----> y_v = -∆/(4a).

Em resumo, V(-b/(2a), -∆/(4a)).

Além disso, y = ax² + bx + c ----> a(x + b/(2a))² = y + ∆/(4a) -----> a(x - x_v)² = y - y_v.