Vértice Eq. 2° sem formulas?!

por sevla00 7/5/2016, 2:55 pm

Como acha o vértice de uma equação de 2° grau sem usar as formulas:
Xv=(x1+x2)/2(depois substitui para achar Yv) ou Xv=-b/2a e Xy= -delta/4a

usando este método:
y = 2x²+4x-1
y = 2(x²+2x) -1
y = 2[(x+1)² -1] -1
y = 2(x+1)² -1x2 -1
y = 2(x+1)² -2 -1
y = 2(x+1)² -3
Vértice = (-1,-3)

Olhando para a equação em negrito temos:
O Xv é o valor do X que zera o parêntese,
e o Yv é o termo independente.

generalizando: a(X-Xv)²+Yv

O que quero saber é como foi feito para reorganiza a equação a partir da forma ax²+bx+c até a forma a(X-Xv)²+Yv sem saber os vértices antes, grato!

por **Ashitaka** 7/5/2016, 5:17 pm

y = ax² + bx + c = a(x² + bx/a + c/a) = a(x² + bx/a + b²/(4a²) - b²/(4a²) + c/a) = a[(x + b/(2a))² + (4ac - b²)/(4a²)] = a(x + b/(2a))² - ∆/(4a)

a(x + b/(2a))² = y + ∆/(4a)

1) a > 0 ----> a(x + b/(2a))² ≥ 0 ----> O mínimo é 0 e ocorre para x = -b/2a.
Logo, Xv = -b/(2a). Neste caso, y + ∆/(4a) = 0 ----> Yv = -∆/(4a).

2) a < 0 ----> a(x + b/(2a))² ≤ 0 ----> O máximo é 0 e ocorre para x = -b/2a.
Logo, Xv = -b/(2a). Neste caso, y + ∆/(4a) = 0 ----> Yv = -∆/(4a).

Logo,

y = ax² + bx + c ----> a(x + b/(2a))² = y + ∆/(4a) -----> a(x - Xv)² = y - Yv.

por **Ashitaka** 7/5/2016, 7:53 pm

Laurorio, perdão e sem ofensas, mas "outro modo" não se aplica, uma vez que você não demonstrou o que foi pedido de outra maneira.

por **laurorio** 7/5/2016, 8:22 pm

Tudo bem. Na verdade, eu só pensei em acrescentar conhecimento ao tópico.

Vou deletar.

por **Ashitaka** 7/5/2016, 10:02 pm

Não precisava deletar; eu só avisei porque acreditei que não tivesse visto a real pergunta dele ao final do post porque sua resposta não se aplicava a ax² + bx + c e sim à função numérica dada. Se houvesse outro método geral, eu gostaria de ver, sim.