polinômios

(M. Rufino) Um polinômio p(x) dividido por x^2 +x +1 dá resto -x + 1 e dividido por x^2 -x + 1 dá resto 3x + 5. Qual o resto da divisão de p(x) por x^4 + x^2 + 1 ?

Gab: r(x)= -2x^3 +2x^2 + x + 5

p(x) = (x²+x+1)a(x) + (-x + 1)
p(x) = (x²-x+1)b(x) + (3x + 5)
A coisa mais chatinha de se notar na questão é que (x² + x + 1)(x² - x + 1) = x^4 - x³ + x² + x³ - x² + x + x² - x + 1 = x^4 + x² + 1, então:
p(x) = (x²+x+1)(x²-x+1)c(x) + r(x)

Estudemos as raízes.
x² + x + 1 = 0 -> x³ - 1 = 0 -> x³ = 1 (com x diferente de 1) = cis(360) => x = cis(120) ou cis(240) = cis(-120), diremos x = w ou w'.
x² - x + 1 = 0 -> x³ + 1 = 0 -> x³ = -1 (com x diferente de -1) = cis(180) => x = cis(60) ou cis(300) = cis(-60), diremos x = t ou t'
Por fim, w' = cis(-120) = cos(120) - isen(120) = -cos(60) - isen(60) = -(cis(60)) = -t => (w')' = (-t)' <=> w = -t'
Então, as raízes são w, w' à primeira e -w, -w' à segunda (lembrando que w² = w' e w'² = w). Substituindo nas duas primeiras equações, o termo (x² +- x + 1)a,b(x) some, porque zera:
P(w) = -w + 1
P(w') = -w' + 1
P(-w) = -3w + 5
P(-w') = -3w' + 5
E na equação final também, de sorte que p(+-w) = r(+-w) e p(+-w') = r(+-w').

Como o divisor nessa equação é de grau 4, r(x) é no máximo de grau 3. Façamos r(x) = Ax³ + Bx² + Cx + D.
r(w)   =     Aw³  +    Bw² +     Cw  + D = A + Bw' + Cw + D = -w + 1
r(w')  =    Aw'³ +     Bw'² +     Cw' + D = A + Bw + Cw' + D = -w' + 1
r(-w) = A(-w)³ +  B(-w)² +  C(-w) + D =-A + Bw' - Cw  + D = -3w + 5
r(-w') =A(-w')³ + B(-w')² + C(-w') + D =-A + Bw  - Cw' + D = -3w' + 5
Some a primeira com a terceira e a segunda com a quarta:
2Bw' + 2D = -4w + 6 <=> Bw' + D = -2w + 3
2Bw  + 2D = -4w'+ 6 <=> Bw  + D =-2w' + 3
Subtraia a primeira da segunda, B(w' - w) = 2(w' - w) => B = 2
=> 2w' + D = -2w + 3 <=> D = -2w - 2w' + 3 (vou usar 1 + w + w² = 1 + w + w' = 0) = -2(w + w' + 1) + 5 = 5 => D = 5.
Voltando às duas primeiras, 
A + 2w' + Cw + 5 = -w + 1
A + 2w + Cw' + 5 = -w' + 1
Subtraia a primeira da segunda:
2(w'-w) + C(w-w') = (w'-w) => 2 - C = 1 <=> C = 1.
Por fim
A + 2w' + w + 5 = -w + 1 <=> A = -2w' - 2w - 4 = -2(w' + w + 1) - 2 = -2 => A = -2
Logo, r(x) = -2x³ + 2x² + x + 5.

Que solução longa. Não tô muito contente com ela, acho que tem alguma bem melhor, mas é o que tenho a oferecer rs.