|Polinômios| - Divisão de Polinômios

por Arlindocampos07 Sex 04 Nov 2022, 17:09

Divida xⁿ - aⁿ por (x + a), n > 1 e a ≠ 0.

GABARITO:

por **Elcioschin** Sex 04 Nov 2022, 18:30

Use, por exemplo, Briott- Ruffini

Para n par

..... n .. n-1 .. n-2 .. n-3 .......... n = 2 .. n = 1 .. n = 0

__| 1 .... 0 ..... 0 ..... 0 .............. 0 ......... 0 ..... -aⁿ
-a | 1 ... -a .... a² .. -a³ ........... a^n-2 .... -a^n-1 ..... 0

por Arlindocampos07 Sex 04 Nov 2022, 21:28

Elcioschin escreveu:Use, por exemplo, Briott- Ruffini

Para n par

..... n .. n-1 .. n-2 .. n-3 .......... n = 2 .. n = 1 .. n = 0

__| 1 .... 0 ..... 0 ..... 0 .............. 0 ......... 0 ..... -aⁿ
-a | 1 ... -a .... a² .. -a³ ........... a^n-2 .... -a^n-1 ..... 0

Ahh, Mestre. Agora eu peguei!

Eu não tava era sabendo me organizar

Para n ímpar

..... n .. n-1 .. n-2 .. n-3 .......... n = 2 .. n = 1 .. n = 0

__| 1 .... 0 ..... 0 ..... 0 .............. 0 ......... 0 ..... -aⁿ
-a | 1 ... -a .... a² .. -a³ ........... -a^n-2 .... +a^n-1 ..-2aⁿ

Eu não tava conseguindo enxegar como as posições dos termos influenciariam no sinal deles, mas agora foi! Valeu, professor!

por Arlindocampos07 Sex 04 Nov 2022, 21:40

Arlindocampos07 escreveu:
Elcioschin escreveu:Use, por exemplo, Briott- Ruffini

Para n par

..... n .. n-1 .. n-2 .. n-3 .......... n = 2 .. n = 1 .. n = 0

__| 1 .... 0 ..... 0 ..... 0 .............. 0 ......... 0 ..... -aⁿ
-a | 1 ... -a .... a² .. -a³ ........... a^n-2 .... -a^n-1 ..... 0
Ahh, Mestre. Agora eu peguei!

Eu não tava era sabendo me organizar

Para n ímpar

..... n .. n-1 .. n-2 .. n-3 .......... n = 2 .. n = 1 .. n = 0

__| 1 .... 0 ..... 0 ..... 0 .............. 0 ......... 0 ..... -aⁿ
-a | 1 ... -a .... a² .. -a³ ........... -a^n-2 .... +a^n-1 ..-2aⁿ

Eu não tava conseguindo enxegar como as posições dos termos influenciariam no sinal deles, mas agora foi! Valeu, professor!

Pensei aqui, e acho que tem um modo mais seguro pra quem não consegue vizualizar muito bem essa troca de sinais. Vejamos:

O resto da divisão do polinômio p(x) por (x + a) é o p(-a). Portanto:

r(x) = (-a)ⁿ - aⁿ

Se n é par -----> r(x) = 0
Se n é ímpar --> r(x) = -2aⁿ

Dessa forma, montando o esquema:

Para n par:

..... n .. n-1 .. n-2 .. n-3 .......... n = 2 .. n = 1 .. n = 0

__| 1 .... 0 ..... 0 ..... 0 .............. 0 ......... 0 ..... -aⁿ
-a | 1 ... -a .... a² .. -a³ ........... p .... q ..0 0

Para sabermos quem é o último termo antes do resto 0, podemos fazer:

q.(-a) - aⁿ = 0
q = -a^n-1

Para n ímpar:

..... n .. n-1 .. n-2 .. n-3 .......... n = 2 .. n = 1 .. n = 0

__| 1 .... 0 ..... 0 ..... 0 .............. 0 ......... 0 ..... -aⁿ
-a | 1 ... -a .... a² .. -a³ ........... r .... s ..0 -2aⁿ

s.(-a) - aⁿ = -2aⁿ
s = +a^n-1

Very Happy