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Complexos

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Mensagem por Leonam O. Hoje à(s) 16:06

Sejam Z e W números complexos tais que |Z| = 3 e |W| = 4. Logo podemos afirmar que:

a) 1 < |Z + W| < 7
b) 1 ≤ |Z + W| ≤ 7
c) 0 < |Z + W| < 5
d) 0 ≤ |Z + W| ≤ 5
e) |Z + W| = 12

Gab: b
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Mensagem por Giovana Martins Hoje à(s) 16:14

Pela desigualdade triangular:

|Z + W| ≤ |Z| + |W|

|Z - W| ≥ ||Z| - |W||

Da primeira desigualdade:

|Z + W| ≤ 3 + 4 = 7

Da segunda desigualdade:

|Z - W| ≥ |3 - 4| = 1

Assim:

1 ≤ |Z + W| ≤ 7

Nota: se |Z - W| ≥ 1, naturalmente, |Z + W| ≥ 1.

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Mensagem por Giovana Martins Hoje à(s) 16:23

Dá para fazer por Euler também se você preferir. Veja:

\[\mathrm{Seja\ Z=3e^{i\theta _1}\ e\ W=4e^{i\theta _2}}\]

\[\mathrm{|Z+W|=\sqrt{[3cos(\theta _1)+4cos(\theta _2)]^2+[3sin(\theta _1)+4sin(\theta _2)]^2}}\]

\[\mathrm{|Z+W|=\sqrt{25+24cos(\theta _1 - \theta _2)}}\]

É sabido que:

\[\mathrm{-1\leq cos(\theta _1 - \theta _2)\leq 1}\]

\[\mathrm{-24\leq 24cos(\theta _1 - \theta _2)\leq 24}\]

\[\mathrm{25-24\leq 25+24cos(\theta _1 - \theta _2)\leq 24+25}\]
\[\mathrm{1\leq 25+24cos(\theta _1 - \theta _2)\leq 49}\]
\[\mathrm{1\leq \sqrt{25+24cos(\theta _1 - \theta _2)}\leq 7}\]
\[\mathrm{1\leq |Z+W|\leq 7}\]

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Mensagem por Leonam O. Hoje à(s) 16:49

Giovana Martins escreveu:
Pela desigualdade triangular:

|Z + W| ≤ |Z| + |W|

|Z - W| ≥ ||Z| - |W||

Da primeira desigualdade:

|Z + W| ≤ 3 + 4 = 7

Da segunda desigualdade:

|Z - W| ≥ |3 - 4| = 1

Assim:

1 ≤ |Z + W| ≤ 7

Nota: se |Z - W| ≥ 1, naturalmente, |Z + W| ≥ 1.

Obrigado Giovana. Será que é possível fazer por lugar geométrico? Ou seria maluquice?
Leonam O.
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Mensagem por Giovana Martins Hoje à(s) 16:56

Leonam O. escreveu:
Giovana Martins escreveu:
Pela desigualdade triangular:

|Z + W| ≤ |Z| + |W|

|Z - W| ≥ ||Z| - |W||

Da primeira desigualdade:

|Z + W| ≤ 3 + 4 = 7

Da segunda desigualdade:

|Z - W| ≥ |3 - 4| = 1

Assim:

1 ≤ |Z + W| ≤ 7

Nota: se |Z - W| ≥ 1, naturalmente, |Z + W| ≥ 1.

Obrigado Giovana. Será que é possível fazer por lugar geométrico? Ou seria maluquice?

Dá sim e a ideia vem dessa resolução que eu indiquei via desigualdade triangular. Só vai ter que usar uma noção de vetores também.

Observe que |Z| = 3 é uma circunferência de raio 3 e centrada na origem do plano de Argand - Gauss. Por sua vez, |W| = 4 é uma circunferência de raio 4 e centrada na origem.

Da desigualdade triangular e utilizando o conceito de vetores, o complexo Z + W representa a soma de dois vetores cujos lugares geométrico são duas circunferências, uma de raio mínimo igual a 1 e outro de raio máximo de raio 7. As circunferências são concêntricas.

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