Com faz essa questão? Guidorizzi 5ed vol1 3.3.10

por Alexander Kahleul Ter 15 Out 2024, 21:40

Suponha que [latex]\lim_{x \to p} f(x) = L[/latex]. Prove que existem r>0 e M>0 tais que, para todo [latex]x \in D_f[/latex], temos [latex]0 < |x-p| < r \Rightarrow |f(x)| \leq M[/latex]. alguém poderia resolver em detalhes?

por **tales amaral** Sex 18 Out 2024, 12:58

Basicamente a gente consegue aproximar o quanto a gente quiser os valores de f do limite L (faça um desenho). Então é de se esperar que seja possível limitar a função (|f(x)| <= M quer dizer que a função é limitada).

Dica : Se |f(x) - L | <= M então - ( |L| + M ) <= |L| - M <= L - M <= f(x) <= M +L <= M + |L| , logo |f(x)| <=M+|L|.

Consegue concluir?

por RaulZ.I.T.O Ontem à(s) 22:44

Também estava com dúvidas nessa questão...

Cheguei ao seguinte raciocínio, porém não consegui concluir o teorema...

Segue a ideia:

Por hipótese, lim (x -> p) f(x) = L <=> Dado epsilon > 0 existe delta > 0 t.q. 0 < |x - p| < delta => |f(x) - L| < epsilon

Sendo M > |L| > 0 :

Dado epsilon = M - |L| > 0 (M = epsilon + |L|) existe delta1 > 0 t.q. 0 < |x - p| < delta1 => |f(x) - L| < M - |L|

Da desigualdade triangular (|a| - |b| <= |a - b| <= |a| + |b|), temos que:

|f(x)| - |L| <= |f(x) - L| < M - |L| => |f(x)| - |L| < M - |L| => |f(x)| < M

Com isso, fica provado a existência de um M > 0 que limite a função em um dado intervalo aberto...
Apenas não consegui provar a parte em que f(x) = M... Como poderia fazer isso?

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