Questão máximos e mínimos - guidorizzi
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Questão máximos e mínimos - guidorizzi
por carlos.r Sáb 03 Jan 2015, 17:38
De um ponto A situado numa das margens de um rio, de 100m de largura, deve-se levar a energia elétrica no ponto C situado na outra margem do rio. O fio a ser utilizado na água custa 5 reais o metro, e o que será utilizado fora da água custa 3 reais o metro. Como deverá ser feita a ligação para que os gastos com os fios seja o menor possível?
Gabarito:
Traçando um ponto A' na margem oposta a A, seguindo a linha pontilhada. O valor de A'B= 75m.
Gabarito:
Traçando um ponto A' na margem oposta a A, seguindo a linha pontilhada. O valor de A'B= 75m.
carlos.r- Jedi
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Re: Questão máximos e mínimos - guidorizzi
por Elcioschin Sáb 03 Jan 2015, 18:47
A' = ponto simétrico de A na margem oposta
Seja A'B = x ---> BC = 1 000 - x
AB² = A'A² + A'B² ---> AB² = 100² + x² ---> AB = (10 000 + x²)1/2
d = AB + BC ---> d = (10 000 + x²)1/2 + (1 000 - x)
Custo total dos fios ---> C = 5.AB + 3.BC ---> C = 5.(10 000 + x²)1/2 + 3.(1 000 - x)
Derivando ---> C' = (1/2).5(10 000 + x²)-1/2.(2x) - 3 ---> C' = 5.x/√(10 000 + x²) - 3
Para o custo ser minimo ---> C' = 0 ---> 5.x/√(10 000 + x²) = 3 ---> 5.x = 3.√(10 000 + x²) --->
25.x² = 9.(10 000 + x²) ---> 16.x² = 90 000 ---> x = 75 m
Seja A'B = x ---> BC = 1 000 - x
AB² = A'A² + A'B² ---> AB² = 100² + x² ---> AB = (10 000 + x²)1/2
d = AB + BC ---> d = (10 000 + x²)1/2 + (1 000 - x)
Custo total dos fios ---> C = 5.AB + 3.BC ---> C = 5.(10 000 + x²)1/2 + 3.(1 000 - x)
Derivando ---> C' = (1/2).5(10 000 + x²)-1/2.(2x) - 3 ---> C' = 5.x/√(10 000 + x²) - 3
Para o custo ser minimo ---> C' = 0 ---> 5.x/√(10 000 + x²) = 3 ---> 5.x = 3.√(10 000 + x²) --->
25.x² = 9.(10 000 + x²) ---> 16.x² = 90 000 ---> x = 75 m
Elcioschin- Grande Mestre
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