Máximos e Mínimos

Dois vértices de um retângulo R estão sobre o eixo x e os outros dois sobre o gráfico
y = x/(1+ x^2) , x > 0. Considere o cilindro wue se obtém girando R em torno do eixo x. Determine o retângulo R de modo que o volume desse cilindro seja máximo.

Bom, como ele quer um retângulo e como dois vértices estão sobre o eixo x, dificilmente os outros dois vértices estarão sobre a função(apenas 1 estará), pois as coordenadas em y devem ser iguais.

Temos que encontrar o maior raio possível. Isso ocorre no ponto de máximo da função. Basta que derivemos a função:

f'(x) = [(1 + x²) - x(2x)]/(1 + x²)²

1 + x² - 2x² = 0
x² = 1
x = + ou - 1


f(1) = 1/2

Então o maior raio é 0,5

O que ele quer com "determine o retângulo r"? As coordenadas do vértice?

Determinar o retângulo deve ser determinar seus lados, as medidas

Já entendi. Eu estava supondo que a função era bijetora para x > 0

Tentei resolver aqui, mas sem sucesso.

f(a) tem que ser igual a f(b), sendo a e b dois vértices do retângulo.

Complicada essa.
Se a função fosse bijetora, seria impossível termos dois vértices desse retângulo na função, visto que ao rotarmos o retângulo em torno do eixo x e obtermod como sólido de revolução um cilindro, devemos ter que a reta que passa por f(a) e f(b) deve ser paralela ao eixo x, correto?

Colocando dois pontos A(a,0) e B(b,0) sobre o eixo x (b >a), teremos que a altura h do cilindro será b-a e seu raio f(b) = f(a)

Não consegui colocar b em função de a para calcular esse volume.

 Eu particularmente entendi que ele queria os lados do retângulo. Mas, pensando melhor, parece que ele quer mesmo as coordenadas. Ficaria mais fácil ou mais difícil o problema? De fato, se quisermos as coordenadas, ainda sim acho que teremos de achar uma relação entre a e b para podermos, então, calcular o volume a achar o x que o deixa máximo. Bom, para acharmos os lados, precisaremos, de qualquer forma, acharmos as coordenadas.

E se tivermos, para b > a:

f(a) = f(b)

a/(1 + a^2) = b/(1 + b^2) (a,b > 0)
a + a.b^2 = b + b.a^2
a-b = a^2.b - a.b^2
a-b = ab( a - b) ( b > a)
ab = 1 <=> a = 1/b

Se eu fiz as contas direito, isso resolveria, a princípio, nosso problema, certo?

Estou tendo problema na parte da otimização.  

Blergh, só de pensar na função que vai aparecer para acharmos o máximo no volume já dá tristeza

Altura: b - 1/b = (b^2 -1)/b
Raio: f(b) = b/(b^2 + 1)

Volume: V(b) = pi. [ b/(b^2 +1) ]^2 . (b^2-1)/b

Oh f...

Calculei a integral definida de 1/x até x que representa o volume.

Depois derivei a função encontrada para otimizar o volume, mas encontrei uma função do quarto grau sem raízes reais.