Polinômios (IME)

Calcule o resto da divisão do polinômio x³¹ + x¹³ + x³ + x por x² - 1.

O gabarito é "R(x) = 3x +1", mas não está batendo com as minhas contas. Estou fazendo assim:

Como o divisor é um polinômio de grau 2, o resto deve ter grau 1 ou 0. Logo, r(x) = ax +b. Logo:

x³¹ + x¹³ + x³ + x = (x² - 1).Q(x) + ax + b

Usando as raízes de x² - 1:

x = 1

(1)³¹ + (1)¹³ + (1)³ + 1 = a +b
a+b = 4 (I)

x = -1

(-1)³¹ + (-1)¹³ + (-1)³ + (-1) = -a +b
-a + b = -4 (II)

Somando (I) e (II) descobri que b = 0. Logo, a = 4

r(x) = 4x +0

r(x) = 4x

O que eu fiz de errado? Ou o gabarito está errado?

Obrigado!

Sua resolução está certa, se os valores forem esses mesmo o gabarito está errado.

Dei uma olhada na página do IME (vestibular CG, prova 2003-2004, quinta questão) e os dados são esses mesmos. 

Mas não tinha gabarito no site. Esse gabarito era da minha apostila, então imagino que estava errado mesmo.

Muito obrigado (: 

Abraço!