Polinômios ime/ita

por JoaoPedroFive Ter 24 Ago 2021, 01:24

O valor de [latex]k=\sqrt\frac{a+c-5}{a-c} [/latex] se a divisão dos polinômios é exata [latex]\frac{x^{21}-ax+c}{x^{2}-x+1}[/latex]:
a) 10
b) 8
c) 2
d) 6
e) 4

por **SilverBladeII** Ter 24 Ago 2021, 13:10

Pra ajeitar vc tira a formatação do código das equações (tem um A azul com um menos vermelho, "exluir a formatação do texto". seleciona o código LaTeX e clica nesse botão).

Mas sobre a questão, eu acho que falta alguma parte, não?
"se a divisão (x^21-ax+c)/(x^2-x+1) ... < alguma coisa > "
falta esse "alguma coisa"?

por JoaoPedroFive Ter 24 Ago 2021, 13:59

SilverBladeII escreveu:Pra ajeitar vc tira a formatação do código das equações (tem um A azul com um menos vermelho, "exluir a formatação do texto". seleciona o código LaTeX e clica nesse botão).

Mas sobre a questão, eu acho que falta alguma parte, não?
"se a divisão (x^21-ax+c)/(x^2-x+1) ... < alguma coisa > "
falta esse "alguma coisa"?

dei uma ajeitada, vê aí se consegue responder.

por **SilverBladeII** Ter 24 Ago 2021, 17:01

oce ainda precisa dizer qual condição a divisão satisfaz, a questão está incompleta

por Cunto Ter 24 Ago 2021, 20:35

Boa noite, tem certeza que os polinômios são esses mesmo? principalmente o de baixo? tentei essa idéia aqui mas o gab não ta batendo.

por **SilverBladeII** Ter 24 Ago 2021, 20:48

Opa, agr vai.
Veja que
x^{21}-1=(x³)^7-1=(x³-1)t(x)=(x-1)(x²-x+1)t(x),
para algum polinomio t(x), mas então x^(21)-1 é divisivel por x²-x+1. Portanto,
x²-x+1 | -ax+c+1
mas como o grau deste polinômio é "menor" que o do divisor, resta que
-ax+c+1=0, portanto a=0 e c=1.
Assim, (a+c-5)/(a-c)=-4/-1=4
e portanto k=2

Ah, se vc tiver qqr duvida em qualquer passo, pergunta ae pls.

por Cunto Ter 24 Ago 2021, 20:57

SilverBladeII escreveu:Opa, agr vai.
Veja que
x^{21}-1=(x³)^7-1=(x³-1)t(x)=(x-1)(x²-x+1)t(x),
para algum polinomio t(x), mas então x^(21)-1 é divisivel por x²-x+1. Portanto,
x²-x+1 | -ax+c+1
mas como o grau deste polinômio é "menor" que o do dividendo, resta que
-ax+c+1=0, portanto a=0 e c=1.
Assim, (a+c-5)/(a-c)=-4/-1=4
e portanto k=2

Ah, se vc tiver qqr duvida em qualquer passo, pergunta ae pls.

Brabo vei, mas tu sabe me dizer pq minha sol ta dando problema?

por **SilverBladeII** Ter 24 Ago 2021, 21:18

edit: esse coment tava errado

as raizes são cis(60) e cis(300) mesmo

por Cunto Qua 25 Ago 2021, 08:32

x^2 -x +1
Delta = 1 -4 = -3

x1 = (1+i sqrt(3))/2 = 2 cis(60)

x2 =(1-i sqrt(3))/2 = 2cis(300)

e ai seria so testar no polinomio x^21 e resolver o sistema achando a, c não? Ja que pelo teorema do resto de d'alembert e por ser uma divisão exata, a raiz de um é raiz do outro necessariamente.

Meu unico pé atrás é pq realmente não lembro se isso tem alguma restrição quando se trata de pol. com raizes complexas, até fui procurar aqui no caio Guimaraes mas não obtive nenhuma resposta quanto a isso Sad

por **SilverBladeII** Qua 25 Ago 2021, 10:12

AH mano, ce tá certo, é 300 mesmo, eu tvaa doidão
o unico erro é que ce tá multiplicando as raizes por dois, ie

x1 = (1+i sqrt(3))/2 = cis(60)

x2 =(1-i sqrt(3))/2 = cis(300)