(MIT) Polinômios

Sabendo ak+ibk para k=1,2,3,4 são raízes do polinômio p(x)=x^4 -6x^3 + 26x^2 - 46x + 64, com ak, bk inteiros e i unidade imaginária dos complexos. Então, o valor da expressão |b1|+|b2|+|b3|+|b4| é igual a:
a)10
b)11
c)12
d)13
e)14
resp:a

É 64 mesmo? Acho que era pra ser 65...

Na fonte esta 64.
Agradeço.

Foi o que consegui fazer   :

Usando a aproximação [latex]64 \approx 65[/latex]:


[latex]p(x)\approx x^4 -6x^3 + 26x^2 - 46x + 65[/latex]



Se p(x) admite a solução [latex]a+bi[/latex] e possui coeficientes reais, ela admite a solução [latex]a-bi[/latex]. Utilizando as relações de girard:

[latex](a_1+b_1\cdot i)+(a_1-b_1\cdot i)+(a_2+b_2\cdot i)+(a_2-b_2\cdot i) = 6 [/latex]


[latex]a_1+a_2 = 3 [/latex]

[latex]\begin{align*} (a_1+b_1\cdot i)(a_1-b_1\cdot i)\cdot(a_2+b_2\cdot i)(a_2-b_2\cdot i) &\approx 65\\~\\ (a_1^2+b_1^2)\cdot(a_2^2+b_2^2)&\approx65\\~\\ (a_1^2+b_1^2)\cdot(a_2^2+b_2^2)&\approx 5\cdot 13\\~\\ (a_1^2+b_1^2)\cdot(a_2^2+b_2^2)&\approx (1+4)\cdot (9+4)\\~\\ (a_1^2+b_1^2)\cdot(a_2^2+b_2^2)&\approx (1^2+2^2)\cdot (3^2+2^2) \end{align*}[/latex]

Única combinação que dá [latex]a_1+a_2 = 3 [/latex] é [latex]a_1 = 1 [/latex], [latex]a_2 = 2 [/latex], [latex]b_1 = 2 [/latex] e [latex]b_2 = 3 [/latex]

Vendo se vale:

\begin{align*} 
(x - a_1-b_1\cdot i)(x - a_1+b_1\cdot i)\cdot(x - a_2-b_2\cdot i)(x - a_2+b_2\cdot i) &=(x - 1-2\cdot i)(x - 1+2\cdot i)\cdot(x - 2-3\cdot i)(x - 2+3\cdot i) \\~\\
&= (x^2-2x+5)(x^2-4x+13)\\~\\
&= x^4 - 6 x^3 + 26 x^2 - 46 x + 65\\~\\
&\approx p(x)
\end{align*}

Então a soma [latex]|b_1| +|b_2| +|b_3|+|b_4| [/latex] é dada por [latex]|2| +|-2| +|3|+|-3| = 4+6 = 10 [/latex]

eu fiz o probelma com 64, realmente não existe solução inteira gaussiana (da pra encontrar um unico conjunto a+bi, m+ni  e seus conjugados, mas eles não são raizes do polinomio original). Então acho que o certo é 65 mesmo.