Polinômios FGV-SP

por Eduardo3943 Sex 22 Mar 2024, 18:53

(FGV-SP) A função polinomial [latex]P(x)=x^3+(1+\sqrt2)x^2+(4+\sqrt2)x+4\sqrt2[/latex] é crescente em todo o conjunto dos números reais. Podemos afirmar que:
a) a soma das raízes vale [latex]1+\sqrt2[/latex].
b) o polinômio tem uma única raiz real negativa.
c) o polinômio tem três raízes complexas não reais.
d) o polinômio tem três raízes reais distintas.
e) o produto das raízes vale [latex]4\sqrt2[/latex].

por **Giovana Martins** Sex 22 Mar 2024, 19:34

De cara já eliminamos "facilmente" duas alternativas.

Item A) Errado.

Por Girard:

x₁ + x₂ + x₃ = - 1 - √2

Item E) Errado.

Por Girard:

x₁x₂x₃= - 4√2

O item C) também é impossível conforme te falei hoje aqui: https://pir2.forumeiros.com/t204114-polinomios-uf-ba#700814

Para os itens B) e D) eu diria que o mais fácil seria chutar valores, pois o √2 acaba sendo uma pista, ainda que bem abstrata, de qual valor é uma possível raiz de P(x).

P(x) = x³ + x² + x²√2 + 4x + x√2 + 4√2

Para x = -√2:

P(-√2) = (-√2)³ + 2 + 2√2 - 4√2 - 2 + 4√2 = 2√2 - 2√2 = 0.

Assim, x = -√2 é raiz de P(x).

Por Briot - Ruffini em P(x) para x = -√2 obtemos Q(x) = x² + x + 4.

Assim, P(x) = (x + √2)(x² + x + 4).

Calculando o discriminante de Q(x): ∆ = (1)² - (4) x (1) x (4) < 0. Logo, as raízes de Q(x) são complexas, tal que P(x) possui uma única raiz real negativa e as demais complexas.

Alternativa B.

Um outro jeito de resolver esta questão seria por Cardano - Tartaglia e por transformadas aditivas, embora aqui não convenha, pois os números são difíceis de trabalhar.

Se houver curiosidade: https://pir2.forumeiros.com/t14717-valores-numericos