Polinômios

Sabendo que p(x) é um polinomio do 3 grau tal que p(1) = 2 p(2) = 3 p(3) = 5, seja R(x) o resto da divisão de p(x) por (x - 1)(x - 2)(x - 3). O valor de R(98) é igual a:

(a) 4751
(b) 4753
(c) 4755
(d) 4757


gabarito: C

Veja:

Como p(x) é do 3°grau, r(x) será no máximo de segundo grau. Logo, podemos escrever:

P(x) = q(x) * (x-1)*(x-2)*(x-3) + ax² + bx + c

Sabemos que p(1) = 2, logo:

P(1) = q(1) * (1-1) * (1-2) * (1-3) + a + b + c
2 = a + b + c (i)

Sabemos que p(2) = 3, logo:

P(2) = q(2) * (2-1) * (2-2) * (2-3) + 4a + 2b + c
3 = 4a + 2b + c (ii)

Sabemos que p(3) = 5, logo:

P(3) = q(3) * (3-1) * (3-2) * (3-3) + 9a + 3b + c
5 = 9a + 3b + c (iii)

Montando um sistema com i,ii e iii:

a + b + c = 2 (i)
4a + 2b + c =3 (ii)
9a + 3b + c = 5 (iii)

Fazendo ii - i:

3a + b = 1 (iv)

Fazendo iii-ii:

5a + b = 2 (v)

Fazendo v - iv:

2a = 1 --> a = 1/2 (vi)

Substituindo vi em iv:

3a + b = 1
b = 1 - 3/2
b = -1/2 (vii)

Substituindo vi e vii em i:

1/2 + (-1/2) + c = 2
c = 2

Logo, r(x) = (1/2)x² -(1/2)x + 2

Calculando R(98):

r(98) = (1/2) * 98² - (1/2)98 + 2
r(98) = 4802 - 49 +2
r(98) = 4755

É isso.

Att.,
Pedro