Polinômios

por spawnftw Qui 14 Nov 2013, 18:24

No conjunto de todos os polinômios de coeficientes reais, resolva os itens:

a) Dar a condição para que o polinômio (a + bx)² + (a' + b'x)², onde aa'bb' ≠ 0, seja um quadrado perfeito.

para ser quadrado perfeito a > 0 e ∆ = 0 correto?? provei que a > 0, mas não consigo provar que o ∆ é 0.

o item b vou postar em spoiler, pois não sei se é uma questão independente de a ou não.

item b:

por Wilson Calvin Sex 15 Nov 2013, 16:25

faltam dados para provar que ∆ = 0

um jeito de tentar provar a condição necessária.
seria assumir por hipótese que a > 0 e que ∆ = 0
e que isso implica em um quadrado perfeito.

por PedroCunha Sex 15 Nov 2013, 23:44

A letra a fica da seguinte maneira:

$\\ (a + bx)^2 + (a' + b'x)^2 \therefore a^2 + 2abx + b^2x^2 + a'^2 + 2a'b'x + b'^2x^2 \therefore \\\\ x^2 \cdot (b^2 + b'^2) + x \cdot (2ab + 2a'b') + (a^2 + a'^2) \rightarrow \Delta \text{ tem que ser } = 0: \\\\(2ab + 2a'b')^2 - 4 \cdot (b^2 + b'^2) \cdot (a^2 + a'^2) = 0 \therefore \\\\ 4a^2b^2 + 8aa'bb' + 4a'^2b'^2 = 4 \cdot (a^2b^2 + a'^2b^2 + a^2b'^2 + a'^2b'^2) \therefore \\\\ \cancel{a^2b^2} + 2aa'bb' + \cancel{a'^2b'^2} = \cancel{a^2b^2} + a'^2b^2 + a^2b'^2 + \cancel{a'^2b'^2} \therefore a'^2b^2 - 2aa'bb' + a^2b'^2 = 0 \\\\ \therefore (a'b - ab')^2 \rightarrow \text{Quadrado Perfeito, Q.C.P.}$

Estou meio ocupado agora, então mais tarde vou trabalhar na Letra b. O desenvolvimento dela é da mesma maneira.

Att.,
Pedro

por Luck Sáb 16 Nov 2013, 00:32

Leiam novamente o enunciado! Veja que na letra a) ele não pede para provar que (a + bx)² + (a' + b'x)² é um quadrado perfeito, e sim uma condição para que isso aconteça.
Aproveitando o desenvolvimento do Pedro:
2aa'bb' = a'²b² + a²b'²
(a'b)² -2(a'b)(ab') +(ab')² = 0
(a'b - ab')² = 0 ∴ a'b = ab' (esta é a condição)

b) Pela letra a , se [ (a + bx)² + (a' +b'x)² ] e [(a + cx)² + (a' + c'x)² ] são quadrados perfeitos então satisfaz a condição :
a'b = ab' (I) e analogamente, c'a = ca' (II)
para mostrar que (b + cx)² + (b' + c'x)² também é quadrado perfeito então devemos mostrar que bc' = b'c.
(I).(II):
a'bc'a = ab'ca' como aa' # 0 ∴ bc' = b'c , c.q.d