Polinômios

por **Jose Carlos** 10/7/2009, 9:54 am

Um polinômio f, dividido por (x+2) e (x²+4) dá resto 0 e (x+1), respectivamente. Qual é o resto da divisão de f por (x+2)*(x²+4) ?

R: [ ( x²/8 ) + x + (3/2) ]
Obrigado.

por Jeffson Souza 10/7/2009, 7:59 pm

Um polinômio f, dividido por (x+2) e (x²+4) dá resto 0 e (x+1), respectivamente. Qual é o resto da divisão de f por (x+2)*(x²+4) ?
a)Pelo enunciado temos.
f(x)=Q1(x)*(x+2)+0
O resto da divisão de f(x) por x+2 é,Pelo teorema de D'Alembert,f(-2),lembrando que -2 é raiz de x+2=0.
f(-2)=r1
f(-2)=0
f(x)=Q2(x)*(x²+4)+(x+1) O resto da divisão será a raiz de x²+4=0 o que cairá no campo dos números complexos.
f(2i)=r2
f(2i)=2i+1
f(-2i)=r3
f(-2i)=-2i+1
b)O resto da divisão de f(x) por B(x)=(x+2)*(x²+4) é do tipo R(x)=ax²+bx+c,pois O grau de B(x)=3

C)Aplicando a definição de divisão temos:
f(x)=(x+2)*(x²+4)*Q(x)+ax²+bx+c

d)Para x=-2 e para x=(+/-)2i resulta:

x=-2 :arrow: P(x)=[(-2)+2]*[(-2)²+4]*Q(-2)+a*(-2)²+b(-2)+c
x=2i :arrow: P(x)=[(2i)+2]*[(2i)²+4]*Q(2i)+a*(2i)²+b*(2i)+c
x=-2i :arrow: p(x)=[(-2i)+2]*[(2i)²+4]*Q(-2i)+a*(-2i)+b(-2i)+c
4a-2b+c=0 :arrow: sistema(1)
-4a+2bi+c=2i+1 :arrow: Sistema(2)
-4a-2ib+c=-2i+1 :arrow:Sistema (3)
Agora vamos resolver os sistemas.

Inicialmente pegaremos os sistemas (2) e (3) e somamos eles...
-4a+2bi+c=2i+1
-4a-2ib+c=-2i+1
.......................
-8a+2c=2
-4a+c=1
Agora pegaremos esse resultado e colocaremos no sistema (2) ou (3) ,eu vou jogar no (2)!
-4a+2bi+c=2i+1
1+2bi=2i+1
b=2i/2i
b=1

Substituindo b=1 no sistema (1) teremos:
4a+c=2
-4a+c=1
2c=3
c=3/2
Agora substituindo em qualquer umas da equações finais obtermos:

4a=2-c
4a=2-3/2
4a=1/2
a=1/8

Enfim R=ax²+bx+c
R=(1/8)x²+x+(3/2)

Consegui ficar estratosférico! Laughing

Abração e que Deus abençoe a todos

por **Jose Carlos** 11/7/2009, 10:57 am

Olá amigo, parabéns pela solução.

Abração.

por Zeroberto 26/10/2023, 8:32 pm

No início da resolução, ele utiliza o teorema do resto em uma equação do segundo grau, o que acaba caindo, como o colega disse, em resultados presentes no campo complexo.

Embora tenha funcionado, fiquei com uma dúvida: o teorema do resto não é válido somente para polinômios da forma ax + b? Ele vale para polinômios de qualquer grau? Ou foi apenas uma coincidência?

por **Giovana Martins** 26/10/2023, 8:57 pm

ZEROBERTO26 escreveu:
No início da resolução, ele utiliza o teorema do resto em uma equação do segundo grau, o que acaba caindo, como o colega disse, em resultados presentes no campo complexo.

Embora tenha funcionado, fiquei com uma dúvida: o teorema do resto não é válido somente para polinômios da forma ax + b? Ele vale para polinômios de qualquer grau? Ou foi apenas uma coincidência?

Você se refere a este trecho: "b)O resto da divisão de f(x) por B(x)=(x+2)*(x²+4) é do tipo R(x)=ax²+bx+c,pois O grau de B(x)=3"?

por Zeroberto 26/10/2023, 9:17 pm

Jeffson Souza escreveu:f(x)=Q2(x)*(x²+4)+(x+1) O resto da divisão será a raiz de x²+4=0 o que cairá no campo dos números complexos.
f(2i)=r2
f(2i)=2i+1
f(-2i)=r3
f(-2i)=-2i+1

Na verdade, essa parte aqui. Perdão por não ter mencionado no comentário anterior.

por **Giovana Martins** 27/10/2023, 5:32 pm

ZEROBERTO26 escreveu:
Jeffson Souza escreveu:
f(x)=Q2(x)*(x²+4)+(x+1) O resto da divisão será a raiz de x²+4=0 o que cairá no campo dos números complexos.
f(2i)=r2
f(2i)=2i+1
f(-2i)=r3
f(-2i)=-2i+1
Na verdade, essa parte aqui. Perdão por não ter mencionado no comentário anterior.

Sem problemas Smile

.

A resposta para a sua pergunta é: não necessariamente.

Um exemplo: ao dividirmos p(x) por d(x), dado que p(x) possui, por exemplo, grau 3 e d(x) possui grau 2, o quociente da divisão q(x) terá grau 1, tal que podemos escrever q(x) = mx + n. Por sua vez, o resto r(x) terá grau 1 ou menor dado que o divisor d(x) possui grau 2. Portanto, seja r(x) = ux + w.

Note que vai depender do grau do polinômio que você está que lidar.

por Zeroberto 27/10/2023, 6:18 pm

Giovana Martins escreveu:
ZEROBERTO26 escreveu:
Jeffson Souza escreveu:
f(x)=Q2(x)*(x²+4)+(x+1) O resto da divisão será a raiz de x²+4=0 o que cairá no campo dos números complexos.
f(2i)=r2
f(2i)=2i+1
f(-2i)=r3
f(-2i)=-2i+1
Na verdade, essa parte aqui. Perdão por não ter mencionado no comentário anterior.

Sem problemas .

A resposta para a sua pergunta é: não necessariamente.

Um exemplo: ao dividirmos p(x) por d(x), dado que p(x) possui, por exemplo, grau 3 e d(x) possui grau 2, o quociente da divisão q(x) terá grau 1, tal que podemos escrever q(x) = mx + n. Por sua vez, o resto r(x) terá grau 1 ou menor dado que o divisor d(x) possui grau 2. Portanto, seja r(x) = ux + w.

Note que vai depender do grau do polinômio que você está que lidar.

Agora entendi! Eu aprendi que o teorema do resto só funcionava quando o divisor fosse da forma (ax + b), por isso tive essa dúvida. Isso ajudou a generalizar bem mais as possibilidades.

Só mais uma dúvida: isso significa que o teorema do resto não se restringe a apenas divisores de grau 1? Eu poderia ter divisores de grau 2 (como foi o caso dessa questão), grau 3, grau 4,..., grau n. E mesmo assim o teorema do resto funcionaria?

por **Giovana Martins** 27/10/2023, 6:31 pm

ZEROBERTO26 escreveu:
Giovana Martins escreveu:
ZEROBERTO26 escreveu:
Jeffson Souza escreveu:
f(x)=Q2(x)*(x²+4)+(x+1) O resto da divisão será a raiz de x²+4=0 o que cairá no campo dos números complexos.
f(2i)=r2
f(2i)=2i+1
f(-2i)=r3
f(-2i)=-2i+1
Na verdade, essa parte aqui. Perdão por não ter mencionado no comentário anterior.

Sem problemas .

A resposta para a sua pergunta é: não necessariamente.

Um exemplo: ao dividirmos p(x) por d(x), dado que p(x) possui, por exemplo, grau 3 e d(x) possui grau 2, o quociente da divisão q(x) terá grau 1, tal que podemos escrever q(x) = mx + n. Por sua vez, o resto r(x) terá grau 1 ou menor dado que o divisor d(x) possui grau 2. Portanto, seja r(x) = ux + w.

Note que vai depender do grau do polinômio que você está que lidar.
Agora entendi! Eu aprendi que o teorema do resto só funcionava quando o divisor fosse da forma (ax + b), por isso tive essa dúvida. Isso ajudou a generalizar bem mais as possibilidades.

Só mais uma dúvida: isso significa que o teorema do resto não se restringe a apenas divisores de grau 1? Eu poderia ter divisores de grau 2 (como foi o caso dessa questão), grau 3, grau 4,..., grau n. E mesmo assim o teorema do resto funcionaria?

Eu acredito que eu e você estamos falando sobre coisas ligeiramente diferentes. O teorema do resto que você está falando diz que o resto da divisão de um polinômio f(x) pelo binômio ax + b é igual ao valor numérico desse polinômio para f(-b/a).

Quando eu digo isso: "Um exemplo: ao dividirmos p(x) por d(x), dado que p(x) possui, por exemplo, grau 3 e d(x) possui grau 2, o quociente da divisão q(x) terá grau 1, tal que podemos escrever q(x) = mx + n. Por sua vez, o resto r(x) terá grau 1 ou menor dado que o divisor d(x) possui grau 2. Portanto, seja r(x) = ux + w."

Eu estou me referindo ao Método de Descartes em se tratando de uma divisão de polinômios, que é o que o colega Jeffson utilizou para posteriormente utilizar o algoritmo da divisão euclidiana: Dividendo = Divisor x Quociente + Resto, que equivale a esta parte da resolução do Jeffson "f(x)=Q2(x)*(x²+4)+(x+1)". O binômio x + 1, isto é, ax + b, veio do Método de Descartes.

Foi isso que eu quis dizer no último post. Acredito tratar-se de situações diferentes.