Desigualdade entre médias

Elementos da Matemática, Vol. 0.
Capítulo 03, Médias.

41) Se a, b e c são números reais positivos tais que [latex]a+b+c=1[/latex], prove que [latex]ab+bc+ca\leq \frac{1}{3}[/latex].

Preciso de ajuda com essa questão.

Obrigado!!!

Giovana Martins escreveu:

Apenas confira as continhas, pois fiz pelo celular.

\[\mathrm{M_A\geq M_H\to \frac{a+b+c}{3}\geq \frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}=\frac{3abc}{ab+ac+bc}\ \therefore\ \frac{3abc}{ab+ac+bc}\leq \frac{1}{3}}\]

\[\mathrm{\left ( \frac{3abc}{ab+ac+bc}  \right )^{-1}\leq\left ( \frac{1}{3}  \right )^{-1}\ \therefore\ \frac{ab+ac+bc}{3abc}\leq 3}\]

\[\mathrm{M_A\geq M_G\to \frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[\mathrm{3}]{\mathrm{abc}}\ \therefore\ abc\leq \frac{1}{27}\ \therefore\ ab+ac+bc\leq \frac{1}{3}}\]

Revendo a solução: No momento em que foi elevado ambos os lados da inequação, o sinal da desigualdade não deveria ser invertido, ficando [latex]\frac{ab+bc+ca}{3abc}\geq 3[/latex]?

Giovana Martins escreveu:

Exato.

Fiz mais um ajuste só para que fique mais claro o entendimento. Note que o menor valor que ab + ac + bc corresponde a 9abc.

Agora, veja que o maior valor que abc pode assumir é 1/27, o que condiciona o valor de ab + ac + bc, tal que ab + ac + bc passa a assumir valor máximo de 1/3.

Entendi perfeitamente. Obrigado!!!

Outra maneira:

Sendo a+b+c = 1, elevando ao quadrado obtemos 1 = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca). Isso significa que majorar ab+bc+ca é o mesmo que minorar a²+b²+c². Mas isso sai direto da média quadrática e aritmética:

\( \displaystyle M_A \leq M_Q \implies \dfrac{a+b+c}{3} \leq \sqrt{ \dfrac{a^2 + b^2 + c^2}3} \implies \boxed{a^2 + b^2 + c^2 \geq \dfrac 13}\)

Daí segue que

\( \displaystyle ab+bc+ca = \dfrac{1 - (a^2+b^2+ c^2)}2 \leq \dfrac{1-\frac 13}2 = \dfrac 13\)

como queríamos.

Obs.: Se você conhece a desigualdade de Jensen, tente também resolver com ela.