Desigualdade entre médias
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Desigualdade entre médias
por Luan, o Rocha Dom 19 maio 2024, 19:10
Elementos da Matemática, Vol. 0.
Capítulo 03, Médias.
42) (OBM-10) Qual é o maior valor de xy² se x e y são reais positivos cuja soma é 3?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Gabarito: B.
Preciso de ajuda com esta questão também
Capítulo 03, Médias.
42) (OBM-10) Qual é o maior valor de xy² se x e y são reais positivos cuja soma é 3?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Gabarito: B.
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Última edição por Luan, o Rocha em Dom 19 maio 2024, 19:57, editado 1 vez(es)
Luan, o Rocha- Iniciante
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Re: Desigualdade entre médias
por Giovana Martins Dom 19 maio 2024, 19:36
\[\mathrm{x+y=3\to x+\frac{y}{2}+\frac{y}{2}=3}\]
\[\mathrm{M_A\geq M_G\to \frac{x+\frac{y}{2}+\frac{y}{2}}{3}\geq \sqrt[\mathrm{3}]{\mathrm{\frac{xy^2}{4}}}\to \sqrt[\mathrm{3}]{\mathrm{\frac{xy^2}{4}}}\leq 1\ \therefore\ xy^2\leq 4\ \therefore\ (xy^2)_{max}=4}\]
Giovana Martins- Grande Mestre
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Re: Desigualdade entre médias
por Giovana Martins Dom 19 maio 2024, 19:40
Um outro jeito:
Dado que x + y = 3 e, sendo f(x,y) = xy², tem-se, portanto, f(x,y) = f(x) = x(3 - x)², tal que f'(x) = 3x² - 12x + 9.
Como pontos críticos temos: f'(x) = 0, o que acarreta x = {1,3}.
Para x = 1 obtém-se f(x) = fmáx = 4. Por sua vez, para x = 3, obtém-se f(x) = fmín = 0.
Giovana Martins- Grande Mestre
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Re: Desigualdade entre médias
por Luan, o Rocha Dom 19 maio 2024, 19:43
Muito obrigado!
Fiquei algumas horas travado nessa questão. Nem passou pela minha cabeça escrever y=y/2+y/2. Bela sacada!
Fiquei algumas horas travado nessa questão. Nem passou pela minha cabeça escrever y=y/2+y/2. Bela sacada!
Luan, o Rocha- Iniciante
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Re: Desigualdade entre médias
por Giovana Martins Dom 19 maio 2024, 20:06
Luan, o Rocha escreveu:Muito obrigado!Fiquei algumas horas travado nessa questão. Nem passou pela minha cabeça escrever y=y/2+y/2. Bela sacada!
Disponha.
Giovana Martins- Grande Mestre
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