Desigualdade entre as médias

se a, b, c são positivos e a+b+c=1, então prove que 1/a+1/b+1/c é maior ou igual a 9.

Usando a desigualdade das médias:

[latex]a+b+c =1 \implies \dfrac{1}{3} = \dfrac{a+b+c}{3} \geq \sqrt[3]{abc} \implies \dfrac{1}{3} \geq \sqrt[3]{abc}[/latex]

Como a,b,c são positivos, temos que abc é positivo e portanto sqrt[3]{abc} é positivo. Logo:

[latex]\dfrac{1}{3} \geq \sqrt[3]{abc} \implies \dfrac{1}{\sqrt[3]{abc}} \geq 3[/latex].

Agora se [latex] S = \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} [/latex], usando a desigualdade das médias:

[latex]\dfrac{S}{3} \geq \sqrt[3]{\dfrac{1}{abc} } \geq 3 \implies S \geq 9 \implies \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \geq 9[/latex]