Equação trigonométrica

por JoaoVonOsterreich Dom 07 Jul 2024, 17:17

Quais são as soluções da equação sen(x)=4sen(x)cos^2(x)
,dado que x pertence ao intervalo[0,2pi] ?
Gabarito:0,pi,2pi
Dúvida:Por que eu não posso cortar o sen(x) dos 2 lados?E chegar a cosx=+-1/2

por **Giovana Martins** Dom 07 Jul 2024, 17:27

Se você não tem como garantir que a variável que você quer simplificar é não nula, então você não pode simplificar, afinal, se esta variável puder assumir valor nulo, ao simplificar, você estará executando uma divisão por zero, o que é matematicamente impossível.

Note que no intervalo de 0 a 2pi, com as extremidades inclusas, tanto seno quanto cosseno podem ser nulos, logo, você não pode simplificar, embora a vontade seja grande kkk.

O correto nestes casos é fatorar a expressão.

sin(x) = 4sin(x)cos²(x)

sin(x) - 4sin(x)cos²(x) = 0

sin(x)[1 - 4cos²(x)] = 0

Da última igualdade tem-se: sin(x) = 0 ou cos(x) = ± 1/2.

Para 0 ≤ x ≤ 2pi: sin(x) = 0 → S₁ = {0, pi, 2pi};

Para 0 ≤ x ≤ 2pi: cos(x) = - 1/2 → S₂= {2pi/3, 4pi/3};

Para 0 ≤ x ≤ 2pi: cos(x) = 1/2 → S₃= {pi/3, 5pi/3}.

por **Giovana Martins** Dom 07 Jul 2024, 17:32

A propósito, se não houver nada de errado com o enunciado, penso que o gabarito esteja incorreto. Teste as soluções que eu encontrei na igualdade e verá que elas também são soluções da equação.

por JoaoVonOsterreich Seg 08 Jul 2024, 09:06

Giovana Martins escreveu:
A propósito, se não houver nada de errado com o enunciado, penso que o gabarito esteja incorreto. Teste as soluções que eu encontrei na igualdade e verá que elas também são soluções da equação.

Peço que ignore o gabarito,obrigado pela resposta.