Ângulos

Giovanna,

por acaso você esqueceu de informar que BD=DC ?

Se aconteceu isso, a resposta é trivial aplicando a lei dos senos.

Uma figura para ajudar:

Acho que pode ser isto:

Sejam BD = CD = a, AD = d, A^BC = 135º - θ, CÂD = 15º 

∆ ABD ---> BD/senBÂD = AD/senA^BD --> a/senθ = b/(135º - θ) ---> a/b = senθ = (135º - θ) ---> I

∆ ACD ---> CD/senCÂD = AD/senA^CD --> a/sen15º = b/sen30º ---> a/b = sen15º/sen30º ---> II

I = II ---> Equação trigonométrica em θ

Vou postar primeiro a resposta acima aventada que, aliás, por ser trigonométrica não me agrada. Contudo achei uma solução mais elegante a qual postarei na próxima mensagem.

1. solução trigonométrica



\( \angle ADB = \angle DAC + \angle ACD\ (ângulo\ externo\ do\ \triangle ADC)\ \rightarrow\ 45º=\angle DAC + 30º\ \rightarrow\ \angle DAC=15º \)

\( lei\ dos\ senos\ \triangle ABC\ \rightarrow\ \frac{AB}{sen30º}=\frac{BC}{sen(\theta+15º)}\ \rightarrow\ \frac{b}{sen30º}=\frac{2a}{sen(\theta+15º)}\ .............(1) \)

\( lei\ dos\ senos\ \triangle ABD\ \rightarrow\ \frac{AB}{sen45º}=\frac{BD}{sen \theta}\ \rightarrow\ \frac{b}{sen45º}=\frac{2a}{sen \theta}\ ...............(2) \)

de (1), \( \frac{a}{b}=\frac{sen(\theta+15º)}{2.sen30º} \)
de (2), \( \frac{a}{b}=\frac{sen \theta}{sen45º} \)

\( \Rightarrow\ \frac{sen(\theta+15º)}{2.sen30º}=\frac{sen \theta}{sen45º}\ \rightarrow\ \frac{sen(\theta+15º)}{2.(1/2)}=\frac{sen \theta}{1/\sqrt{2}}\ \rightarrow\ sen(\theta+15º)=\sqrt{2}.sen \theta \)


voltando:
\( sen(\theta+15º)=\sqrt{2}.sen \theta \)
\( sen \theta.cos15º + sen15º.cos \theta = \sqrt{2}.sen \theta \)

\( sen \theta.(\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}) + cos \theta.(\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}) = \sqrt{2}.sen \theta \)

\( sen \theta.(\sqrt{3}+1)+cos \theta.(\sqrt{3}-1)=4.sen \theta \)

\( cos \theta .(\sqrt{3}-1) = sen \theta .(3-\sqrt{3}) \)

\( \Rightarrow\, tg \theta = \frac{\sqrt{3}-1}{3-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}.(\sqrt{3}-1)} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)

\( \therefore\,\, tg \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}\ \Rightarrow\ \boxed{\,\theta=30º\,} \)

2. por construção geométrica



trace \( BE \perp AC \,\,e\, trace\ ED \)

no \( \triangle BEC,\,reto\ em\ E,\,\, \angle CBE=60º \)
\( \rightarrow\ sen60º = \frac{1}{2} = \frac{BE}{BC}\ \rightarrow\ \frac{1}{2}= \frac{BE}{2.BD}\ \rightarrow\ BE=BD \)
\( \therefore\ \triangle BDE=equilátero \)
\( \angle ADE = 60º-45º = 15º\ \rightarrow\ \angle DAE=15º \)
\( \rightarrow\ \triangle ADE=isõsceles,\,\, AE=DE\ (=BE) \)
\( \therefore\ \triangle ABE=isósceles\ com\ \angle AEB=90º \)
\( \rightarrow\ \angle ABE=\angle BAE=45º \)
\( \rightarrow\ \theta=\angle BAE - \angle DAE = 45º - 15º \)
\( \therefore\,\, \boxed{\, \theta=30º\,} \)

Pois é, Giovana, achei esta resolução aqui neste canal
https://youtu.be/v5dDus4XA1w?si=Hu1fKBd70u4LI8ft
e considerei que valia a pena mostrá-la.