Dúvida Demonstração Teorema Limites Infinitos -F.M.E. 8

Não entendi o argumento do número "alpha" usado na demonstração abaixo... Como posso afirmar que esse número alpha realmente existe?

"Se \( \lim_{x \to a} f(x) = +\infty \) e \( \lim_{x \to a} g(x) = b \), com \( b > 0 \), então \( \lim_{x \to a} f(x) \cdot g(x) = +\infty \)."

Prova:

Se lim (x -> a) g(x) = b > 0, então, existem alpha > 0 e delta1 > 0 tais que se 0 < | x - a | < delta1 então g(x) > alpha. (I)

Se lim (x -> a) f(x) = +oo, então, dado M/alpha > 0 existe delta2 > 0 tal que se 0 < | x - a | < delta2 então f(x) > M/alpha. (II)

Tomando delta = min{delta1, delta2} de forma a (I) e (II) serem simultaneamente verdadeiros, temos que:

0 < | x - a | < delta => g(x)*f(x) > (M/alpha)*alpha = M > 0 C.Q.D.

"Acho" que cheguei a uma conclusão:

Consideremos um limite qualquer: lim(x -> a) f(x) = b.

lim (x -> a) f(x) = b <=> 0 < |x  - a| < delta => |f(x) - b| < épsilon => -épsilon < f(x) - b< épsilon => b -épsilon < f(x) < b + épsilon.

Com isso, chegamos à desigualdade:  b -épsilon < f(x) < b + épsilon. => f(x) > b - épsilon

Sendo alpha número real qualquer, seja alpha dado pela relação: alpha = b - épsilon.

Tal relação é uma função afim (apenas alpha e épsilon são variáveis, b é constante pela hipótese). Sendo a função afim sobrejetora alpha pode ser qualquer real.

Para mim isso faz sentido, fico grato se alguém puder analisar o raciocínio.

RaulZ.I.T.O escreveu:"Acho" que cheguei a uma conclusão:

Consideremos um limite qualquer: lim(x -> a) f(x) = b.

lim (x -> a) f(x) = b <=> 0 < |x  - a| < delta => |f(x) - b| < épsilon => -épsilon < f(x) - b< épsilon => b -épsilon < f(x) < b + épsilon.

Com isso, chegamos à desigualdade:  b -épsilon < f(x) < b + épsilon. => f(x) > b - épsilon

Sendo alpha número real qualquer, seja alpha dado pela relação: alpha = b - épsilon.

Tal relação é uma função afim (apenas alpha e épsilon são variáveis, b é constante pela hipótese). Sendo a função afim sobrejetora alpha pode ser qualquer real.

Para mim isso faz sentido, fico grato se alguém puder analisar o raciocínio.

Na verdade o alpha tá fixo. Você só precisa garantir que a gente consegue fazer g(x) ser positiva (e maior que um valor fixo) para x suficientemente próximo de a. Aí depois você cresce a f pra garantir que o produto cresce arbitrariamente.

tales amaral escreveu:

RaulZ.I.T.O escreveu:"Acho" que cheguei a uma conclusão:

Consideremos um limite qualquer: lim(x -> a) f(x) = b.

lim (x -> a) f(x) = b <=> 0 < |x  - a| < delta => |f(x) - b| < épsilon => -épsilon < f(x) - b< épsilon => b -épsilon < f(x) < b + épsilon.

Com isso, chegamos à desigualdade:  b -épsilon < f(x) < b + épsilon. => f(x) > b - épsilon

Sendo alpha número real qualquer, seja alpha dado pela relação: alpha = b - épsilon.

Tal relação é uma função afim (apenas alpha e épsilon são variáveis, b é constante pela hipótese). Sendo a função afim sobrejetora alpha pode ser qualquer real.

Para mim isso faz sentido, fico grato se alguém puder analisar o raciocínio.

Na verdade o alpha tá fixo. Você só precisa garantir que a gente consegue fazer g(x) ser positiva (e maior que um valor fixo) para x suficientemente próximo de a. Aí depois você cresce a f pra garantir que o produto cresce arbitrariamente.

Acho que entendi.

Seria algo semelhante a esse raciocínio?

Se lim (x -> a) g(x) = b > 0 => Dado épsilon = b > 0, existe delta1 > tal que:

|x - a| < delta1 => |g(x) - b| < b <=> |x - a| < delta1 => -b < g(x) - b < b <=> |x - a| < delta1 => 0 < g(x) < 2b.

Logo, para todo x no intervalo aberto I = (a - delta1, a + delta1), exceto para x = a, g(x) > 0.

Sendo alpha > 0 um número entre 0 e 2b, existe um x pertencente a I, x diferente de a, em que:

2b > g(x) > alpha > 0; Com isso, podemos usar esse argumento na prova do teorema inicial.

RaulZ.I.T.O escreveu:

tales amaral escreveu:

RaulZ.I.T.O escreveu:"Acho" que cheguei a uma conclusão:

Consideremos um limite qualquer: lim(x -> a) f(x) = b.

lim (x -> a) f(x) = b <=> 0 < |x  - a| < delta => |f(x) - b| < épsilon => -épsilon < f(x) - b< épsilon => b -épsilon < f(x) < b + épsilon.

Com isso, chegamos à desigualdade:  b -épsilon < f(x) < b + épsilon. => f(x) > b - épsilon

Sendo alpha número real qualquer, seja alpha dado pela relação: alpha = b - épsilon.

Tal relação é uma função afim (apenas alpha e épsilon são variáveis, b é constante pela hipótese). Sendo a função afim sobrejetora alpha pode ser qualquer real.

Para mim isso faz sentido, fico grato se alguém puder analisar o raciocínio.

Na verdade o alpha tá fixo. Você só precisa garantir que a gente consegue fazer g(x) ser positiva (e maior que um valor fixo) para x suficientemente próximo de a. Aí depois você cresce a f pra garantir que o produto cresce arbitrariamente.

Acho que entendi.

Seria algo semelhante a esse raciocínio?

Se lim (x -> a) g(x) = b > 0 => Dado épsilon = b > 0, existe delta1 > tal que:

|x - a| < delta1 => |g(x) - b| < b <=> |x - a| < delta1 => -b < g(x) - b < b <=> |x - a| < delta1 => 0 < g(x) < 2b.

Logo, para todo x no intervalo aberto I = (a - delta1, a + delta1), exceto para x = a, g(x) > 0.

Sendo alpha > 0 um número entre 0 e 2b, existe um x pertencente a I, x diferente de a, em que:

2b > g(x) > alpha > 0; Com isso, podemos usar esse argumento na prova do teorema inicial.

De 0 < g(x) < 2b, você não consegue a existẽncia de um alpha >0  tal que g(x) > alpha > 0 para x suficiente próximo de a. Pega epsilon = b/2 que o alpha vai ser b/2. Faça as contas (e um desenho).

tales amaral escreveu:

RaulZ.I.T.O escreveu:

tales amaral escreveu:

RaulZ.I.T.O escreveu:"Acho" que cheguei a uma conclusão:

Consideremos um limite qualquer: lim(x -> a) f(x) = b.

lim (x -> a) f(x) = b <=> 0 < |x  - a| < delta => |f(x) - b| < épsilon => -épsilon < f(x) - b< épsilon => b -épsilon < f(x) < b + épsilon.

Com isso, chegamos à desigualdade:  b -épsilon < f(x) < b + épsilon. => f(x) > b - épsilon

Sendo alpha número real qualquer, seja alpha dado pela relação: alpha = b - épsilon.

Tal relação é uma função afim (apenas alpha e épsilon são variáveis, b é constante pela hipótese). Sendo a função afim sobrejetora alpha pode ser qualquer real.

Para mim isso faz sentido, fico grato se alguém puder analisar o raciocínio.

Na verdade o alpha tá fixo. Você só precisa garantir que a gente consegue fazer g(x) ser positiva (e maior que um valor fixo) para x suficientemente próximo de a. Aí depois você cresce a f pra garantir que o produto cresce arbitrariamente.

Acho que entendi.

Seria algo semelhante a esse raciocínio?

Se lim (x -> a) g(x) = b > 0 => Dado épsilon = b > 0, existe delta1 > tal que:

|x - a| < delta1 => |g(x) - b| < b <=> |x - a| < delta1 => -b < g(x) - b < b <=> |x - a| < delta1 => 0 < g(x) < 2b.

Logo, para todo x no intervalo aberto I = (a - delta1, a + delta1), exceto para x = a, g(x) > 0.

Sendo alpha > 0 um número entre 0 e 2b, existe um x pertencente a I, x diferente de a, em que:

2b > g(x) > alpha > 0; Com isso, podemos usar esse argumento na prova do teorema inicial.

De 0 < g(x) < 2b, você não consegue a existẽncia de um alpha >0  tal que g(x) > alpha > 0 para x suficiente próximo de a. Pega epsilon = b/2 que o alpha vai ser b/2. Faça as contas (e um desenho).

lim (x -> a) g(x) = b > 0 => Dado epsilon = b/2 > 0 existe delta1 > 0 tal que
        |x - a| < delta 1 => |g(x) - b| < b/2 <=>
<=> |x - a| < delta 1 => |g(x) - b| < b/2 <=>
<=> |x - a| < delta1 =>  -b/2 < g(x) - b < b/2 <=>
<=> |x - a| < delta1 => b/2 < g(x) < 3b/2

Sendo alpha = b/2, temos que:

|x - a| < delta1 => b/2 < g(x) < 3b/2 <=>
<=> |x - a| < delta1 => alpha < g(x) < 3alpha

O que garante a existência de um número alpha > 0.

Segue o desenho:



(Ficou mal desenhado e fora de escala, mas consegui entender a ideia por trás)

Obrigado.