Dúvida Demonstração Teorema Limites Infinitos -F.M.E. 8

Não entendi o argumento do número "alpha" usado na demonstração abaixo... Como posso afirmar que esse número alpha realmente existe?

"Se \( \lim_{x \to a} f(x) = +\infty \) e \( \lim_{x \to a} g(x) = b \), com \( b > 0 \), então \( \lim_{x \to a} f(x) \cdot g(x) = +\infty \)."

Prova:

Se lim (x -> a) g(x) = b > 0, então, existem alpha > 0 e delta1 > 0 tais que se 0 < | x - a | < delta1 então g(x) > alpha. (I)

Se lim (x -> a) f(x) = +oo, então, dado M/alpha > 0 existe delta2 > 0 tal que se 0 < | x - a | < delta2 então f(x) > M/alpha. (II)

Tomando delta = min{delta1, delta2} de forma a (I) e (II) serem simultaneamente verdadeiros, temos que:

0 < | x - a | < delta => g(x)*f(x) > (M/alpha)*alpha = M > 0 C.Q.D.

"Acho" que cheguei a uma conclusão:

Consideremos um limite qualquer: lim(x -> a) f(x) = b.

lim (x -> a) f(x) = b <=> 0 < |x  - a| < delta => |f(x) - b| < épsilon => -épsilon < f(x) - b< épsilon => b -épsilon < f(x) < b + épsilon.

Com isso, chegamos à desigualdade:  b -épsilon < f(x) < b + épsilon. => f(x) > b - épsilon

Sendo alpha número real qualquer, seja alpha dado pela relação: alpha = b - épsilon.

Tal relação é uma função afim (apenas alpha e épsilon são variáveis, b é constante pela hipótese). Sendo a função afim sobrejetora alpha pode ser qualquer real.

Para mim isso faz sentido, fico grato se alguém puder analisar o raciocínio.