Octógono incristo e cincunscrito
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Octógono incristo e cincunscrito
por MatheusNeves Sex 07 Jun 2013, 17:41
Considere o octógono regular ABCDEFG inscrito numa
circunferência λ de raio R
Se esse mesmo octógono circunscreve uma circunferência α
de raio r, então a razão entre os quadrados dos
comprimentos das circunferências λ e α é, nessa ordem,
igual a
Resposta: 2(2-√2)
circunferência λ de raio R
Se esse mesmo octógono circunscreve uma circunferência α
de raio r, então a razão entre os quadrados dos
comprimentos das circunferências λ e α é, nessa ordem,
igual a
Resposta: 2(2-√2)
MatheusNeves- Iniciante
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Re: Octógono incristo e cincunscrito
por Elcioschin Sex 07 Jun 2013, 18:42
Faça um desenho do octógono
Sejam R e r os raios das circunferências circunscrita e inscrita (centro O) e L o lado do octógono
AB² = OA² + OB² - 2.OA.OB.cos45º ----> L² = R² + R² - 2R².(\/2/2) ----> L² = R².(2 - \/2)
Seja M o ponto médio de AB ----> OM² = OA² - AM² 0 ----> r² = R² - (L/2)² ---> r² = R² - R².(2 - \/2)/4
r² = R².(2 + \/2)/4 ----> R²/r² = 4/(2 + \/2) ----> R²/r² = 4.(2 - \/2)/(2 + \/2).(2 - \/2) ----> R²/r² = 2.(2 - \/2)
4.pi².R²/4.pi².r² = 2.(2 - \/2) ----> (2.pi.R)²/(2.pi.r)r² = 2.(2 - \/2) ----> (Cλ)²/(Cα)² = 2.(2 - \/2)
Sejam R e r os raios das circunferências circunscrita e inscrita (centro O) e L o lado do octógono
AB² = OA² + OB² - 2.OA.OB.cos45º ----> L² = R² + R² - 2R².(\/2/2) ----> L² = R².(2 - \/2)
Seja M o ponto médio de AB ----> OM² = OA² - AM² 0 ----> r² = R² - (L/2)² ---> r² = R² - R².(2 - \/2)/4
r² = R².(2 + \/2)/4 ----> R²/r² = 4/(2 + \/2) ----> R²/r² = 4.(2 - \/2)/(2 + \/2).(2 - \/2) ----> R²/r² = 2.(2 - \/2)
4.pi².R²/4.pi².r² = 2.(2 - \/2) ----> (2.pi.R)²/(2.pi.r)r² = 2.(2 - \/2) ----> (Cλ)²/(Cα)² = 2.(2 - \/2)
Elcioschin- Grande Mestre
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Re: Octógono incristo e cincunscrito
por MatheusNavarro λ Qua 20 Nov 2024, 14:52
boa tarde, fiz por trigonometria:
https://i.servimg.com/u/f96/20/57/27/03/captur17.png
https://i.servimg.com/u/f96/20/57/27/03/captur17.png
MatheusNavarro λ- Iniciante
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Re: Octógono incristo e cincunscrito
por matheus_feb Qua 20 Nov 2024, 15:47
Perfeito.MatheusNavarro λ escreveu:boa tarde, fiz por trigonometria:
https://i.servimg.com/u/f96/20/57/27/03/captur17.png
Mas senti falta de uma coisa. Você não mostrou como chegou a conclusão de que cos22,5o assumia aquele valor dado. Como não se trata de um ângulo notável, é interessante mostrar como chegou àquele raciocínio.
matheus_feb- Mestre Jedi
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Re: Octógono incristo e cincunscrito
por Elcioschin Qua 20 Nov 2024, 16:43
cos45º = √2/2
cos(22,5º + 22,5º) = √2/2
cos22,5º.cos22,5º - sen22,5º.sen22,5º = √2/2
cos²22,5º - sen²22,5º = √2/2
cos²22,5º - (1 - cos²22,5º) = √2/2
2.cos²22,5º - 1 = √2/2 ---> calcule cos22,5º
cos(22,5º + 22,5º) = √2/2
cos22,5º.cos22,5º - sen22,5º.sen22,5º = √2/2
cos²22,5º - sen²22,5º = √2/2
cos²22,5º - (1 - cos²22,5º) = √2/2
2.cos²22,5º - 1 = √2/2 ---> calcule cos22,5º
Elcioschin- Grande Mestre
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Re: Octógono incristo e cincunscrito
por matheus_feb Qua 20 Nov 2024, 16:48
Perfeito. Era por soma de arcos + relação fundamental da trigonometria que eu esperava que o colega de cima tenha feito.Elcioschin escreveu:cos45º = √2/2
cos(22,5º + 22,5º) = √2/2
cos22,5º.cos22,5º - sen22,5º.sen22,5º = √2/2
cos²22,5º - sen²22,5º = √2/2
cos²22,5º - (1 - cos²22,5º) = √2/2
2.cos²22,5º - 1 = √2/2 ---> calcule cos22,5º
matheus_feb- Mestre Jedi
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