Lugar geométrico de circunfêrencias

por Alanna_01 Sáb 05 Out 2024, 16:22

Na figura A aparecem as circunferências α, de equação x² + y² = 1, e β, de equação x² + y² = 9. Sabendo-se que as circunferências tangentes simultaneamente a α e β são como λ1 ( na figura B) ou λ2 (na figura C),

Lugar geométrico de circunfêrencias 20241010

o lugar geométrico dos centros destas circunferências é dado:

a) pelas circunferências de equações (x-1)² + y² = 4 e (x-2)² + y² = 1.
b) pela elipse de equação x² + y²/9 = 2
c) pelas circunferências de equações x² + y² = 1 e x² + y² = 4
d) pela circunferência de equação x² + y² = 4
e) pelas retas de equações y = x e y = -x

gab:

Não faço ideia de como achar o lugar geométrico dessas circunferências

por **Giovana Martins** Sáb 05 Out 2024, 16:43

Em se tratando de uma circunferência, tem-se que:

Circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão localizados a uma mesma distância R de um ponto fixo C, o qual corresponde ao centro da circunferência.

Primeiramente, para ambos os casos, vamos posicionar as circunferências λ₁ e λ₂ de forma estratégica.

Caso 1:

Lugar geométrico de circunfêrencias Oie_tr41

Caso 2:

Lugar geométrico de circunfêrencias Oie_tr66

Para o primeiro caso, tomando-se o centro de λ₁ como referência, note que para qualquer posição de λ₁ ter-se-á uma distância R_α + R_λ1 = 1 + 1 = 2 do "centro", logo, LG₁: x² + y² = (R_α + R_λ1)² = 4.

Para o segundo caso, tomando-se o centro de λ₂ como referência, note que ele sempre estará a uma distância R_α = 1 do "Centro", tal que o lugar geométrico do centro de λ₂ é a própria circunferência α, o que acarreta LG₂: x² + y² = 1.

por **Medeiros** Sáb 05 Out 2024, 16:51

Pense na figura B. Todas as infinitas circunferências que podem ser construídas entre as duas alfa e beta, tem centro duas unidades distantes da origem dos eixos coordenados. Logo o lugar geométrico do centro destas é dado pela circunferência x² + y² = 2².

Agora pense na figura C. Todas as infinitas circunferências que podem ser construídas dessa forma têm raio R = 2, mas seus centros ficam uma unidade distante da origem dos eixos coordenados. Logo a equação do lugar geométrico serão a circunferência tal que x² + y² = 1².

por Alanna_01 Sáb 05 Out 2024, 16:55

Giovana Martins escreveu:
Em se tratando de uma circunferência, tem-se que:

Circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão localizados a uma mesma distância R de um ponto fixo C, o qual corresponde ao centro da circunferência.

Primeiramente, para ambos os casos, vamos posicionar as circunferências λ₁ e λ₂ de forma estratégica.

Caso 1:

Caso 2:

Para o primeiro caso, tomando-se o centro de λ₁ como referência, note que para qualquer posição de λ₁ ter-se-á uma distância R_α + R_λ1 = 1 + 1 = 2 do "centro", logo, LG₁: x² + y² = (R_α + R_λ1)² = 4.

Para o segundo caso, tomando-se o centro de λ₂ como referência, note que ele sempre estará a uma distância R_α = 1 do "Centro", tal que o lugar geométrico do centro de λ₂ é a própria circunferência α, o que acarreta LG₂: x² + y² = 1.

Hmmmm acho que entendi. muito obrigada!! Vou precisar fazer mais questões desse tipo para me habituar.

por Alanna_01 Sáb 05 Out 2024, 17:00

Medeiros escreveu:Pense na figura B. Todas as infinitas circunferências que podem ser construídas entre as duas alfa e beta, tem centro duas unidades distantes da origem dos eixos coordenados. Logo o lugar geométrico do centro destas é dado pela circunferência x² + y² = 2².

Agora pense na figura C. Todas as infinitas circunferências que podem ser construídas dessa forma têm raio R = 2, mas seus centros ficam uma unidade distante da origem dos eixos coordenados. Logvvo a equação do lugar geométrico serão a circunferência tal que x² + y² = 1².

Muito obrigada pela sua explicação!!

por **Giovana Martins** Sáb 05 Out 2024, 17:03

Alanna_01 escreveu:
Giovana Martins escreveu:
Em se tratando de uma circunferência, tem-se que:

Circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão localizados a uma mesma distância R de um ponto fixo C, o qual corresponde ao centro da circunferência.

Primeiramente, para ambos os casos, vamos posicionar as circunferências λ₁ e λ₂ de forma estratégica.

Caso 1:

Caso 2:

Para o primeiro caso, tomando-se o centro de λ₁ como referência, note que para qualquer posição de λ₁ ter-se-á uma distância R_α + R_λ1 = 1 + 1 = 2 do "centro", logo, LG₁: x² + y² = (R_α + R_λ1)² = 4.

Para o segundo caso, tomando-se o centro de λ₂ como referência, note que ele sempre estará a uma distância R_α = 1 do "Centro", tal que o lugar geométrico do centro de λ₂ é a própria circunferência α, o que acarreta LG₂: x² + y² = 1.
Hmmmm acho que entendi. muito obrigada!! Vou precisar fazer mais questões desse tipo para me habituar.

De nada! Este assunto é meio chatinho de estudar, porque não são muitos os vestibulares que o cobram. No Fundamentos da Matemática Elementar de geometria analítica do Gelson Iezzi há um tópico somente para este tema caso queira ver mais. Não é muita coisa, mas tem Smile