Lugar geométrico

Qual o lugar geométrico dos pontos, cuja soma das distâncias a duas retas que se cortam, é igual a uma constante K?

a) Um quadrilátero
b) Uma circunferência
c) Uma reta passando pelo ponto de interseção das retas
d) Uma elipse
e) Uma hipérbole

Gabarito:

Sabemos a equação da distância de um ponto a uma reta:

[latex]\left | \frac{ax+b-y}{\sqrt{a^{2}+1}} \right |+\left | \frac{cx+d-y}{\sqrt{c^{2}+1}} \right |=k[/latex]


Como raiz de alguma coisa é, por definição, algo positivo, podemos tirar as raízes dos módulos:


[latex]\sqrt{a^{2}+1}\left | ax+b-y \right |+\sqrt{c^{2}+1}\left | cx+d-y \right |=k\sqrt{a^{2}+1}\sqrt{c^{2}+1}[/latex]

Dessa forma, existem 4 casos; a expressão dentro de ambos os módulos é positiva, a primeira é positiva e a segunda é negativa, a primeira é negativa e a segunda é positiva e ambas são negativas. Em cada um desses casos encontraremos a equação de uma reta, juntando esses resultados encontramos um quadrilátero formado pela região delimitada por essas 4 retas.