03 média harmônica e geométrica

A média harmônica dos números positivos x e y é igual a 12. portanto se (x + y) = 25, a média geométrica de x e y é: 

A √300
B √240
C √150
D √120

Spoiler:

Ibam 2023

Média Harmônica de x, y ---> 2/Mh = 1/x + 1/y ---> 2/12 = 1/x + 1/y --->

1/6 = (x + y)/x.y) ---> 1/6 = 25/x.y --> x.y = 150

Média Geométrica de x, y ---> Mg = √(x.y) --> Mg = √150

Para resolver este problema, temos as seguintes informações:

1. A média harmônica de dois números positivos \( x \) e \( y \) é 12.
2. A somados números é \( x + y = 25 \).
3. Precisamos encontrar a média geométrica de \( x \) e \( y \).

Passo 1: Lembrar das definições de médias

Para dois números positivos \( x \) e \( y \):

- Média harmônica (MH): \( \text{MH} = \dfrac{2xy}{x + y} \)
- Média geométrica (MG): \( \text{MG} = \sqrt{xy} \)

Passo 2: Usar a média harmônica fornecida

Sabemos que a média harmônica é 12:
\[
\text{MH} = \dfrac{2xy}{x + y} = 12
\]
Como \( x + y = 25 \), substituímos na equação:
\[
\dfrac{2xy}{25} = 12
\]
Passo 3: Resolver para \( xy \)

Multiplicamos ambos os lados da equação por 25:
\[
2xy = 12 \times 25 \\
2xy = 300
\]
Dividimos ambos os lados por 2:
\[
xy = \dfrac{300}{2} \\
xy = 150
\]
Passo 4: Encontrar a média geométrica

A média geométrica é dada por:
\[
\text{MG} = \sqrt{xy} = \sqrt{150}
\]
Passo 5: Simplificar, se possível

Podemos simplificar \( \sqrt{150} \) da seguinte forma:
\[
\sqrt{150} = \sqrt{25 \times 6} = 5\sqrt{6}
\]