Números racionais

por gatinhadeschrodinger Ontem à(s) 22:02

A cada 10 anos, a população de uma cidade é cinco quartos do que ela era 10 anos antes. Em quantos anos a população dobrará? E triplicará?

Questão do livro Basic Mathematics do Serge Lain ("Every 10 years the population of a city is five-fourths of what it was 10 years before. How many years does it take before the population doubles? And before it triples?").

por matheus_feb Ontem à(s) 22:32

gatinhadeschrodinger escreveu:A cada 10 anos, a população de uma cidade é cinco quartos do que ela era 10 anos antes. Em quantos anos a população dobrará? E triplicará?

Questão do livro Basic Mathematics do Serge Lain ("Every 10 years the population of a city is five-fourths of what it was 10 years before. How many years does it take before the population doubles? And before it triples?").

Como a questão não fornece os valores dos respectivos logaritmos, utilizei os valores mais próximos:
log2 = 0,3 ; log3 = 0,48 ; log5 = 0,7 ; log7 = 0,85

Pelo enunciado, a população cresce em ritmo geométrico. A cada 10 anos, ela cresce para 5/4 da original. Assim:
P(x) = P₀. (5/4)^t/10
Para t = 10, temos a seguinte relação, comprovando nossa lei de formação desenvolvida:
P(x) = P₀. (5/4)^10/10P(x) = P₀. 5/4

Para a população duplicar:
P(x) = P₀. (5/4)^t/10
2P₀ = P₀. (5/4)^t/10
log2 = (log5 - log2²)^t/10
0,3 = t/10. (0,7 - 0,6)
t/10 . 0,1 = 0,3
t/100 = 0,3
t = 30 anos

Para a população triplicar:
3P₀= P₀. (5/4)^t/10
log3 = (log5 - log2²)^t/10
0,48 = t/10. (0,7 - 0,6)
t/10 . 0,1 = 0,48
t/100 = 0,48
t = 48 anos

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