Cálculo - Continuidade e Derivada.

Gostaria de entender por qual razão ela não se enquadra e a função:
 
existe.
Estou ciente em relação a continuidade, mas gostaria de ver o raciocínio.

Pedr0 escreveu:

Gostaria de entender por qual razão ela não se enquadra e a função:
 
existe.
Estou ciente em relação a continuidade, mas gostaria de ver o raciocínio.

Me perdoe caso cometa eventuais erros. Ainda estou aprendendo também, mas consegui chegar a uma conclusão:


f(x) = x. sen(1/x)
- t(x) = x
- h(x) = sen(1/x)

f'(x) = [t'(x) . h(x) + t(x) . h'(x)]
f'(x) = [1. sen(1/x)] + [x . cos(1/x)] = sen(1/x) + x. cos(1/x)

→ Para x = 0, a derivada da função f(x) é diferente de 0. Portanto, a derivada no ponto x = 0 não existe.


f(x) = x². sen(1/x)
- g(x) = x²
- i(x) = sen(1/x)

f'(x) = [g'(x) . i(x) + g(x) . i'(x)]
f'(x) = [2x . sen(1/x)] + [x² . cos(1/x)] = 2x. sen(1/x) + x². cos(1/x)

→ Para x = 0, a derivada da função é zero. Portanto, f'(x) existe.

Então, essa ideia de mostrar se uma derivada existe ou não se prova usando a definição de derivada. Pra esse caso é aquele limite de h tendendo a 0 de (f(x+h) - f(x))/h. Não é muito bom calcular f'(x) e depois tentar substituir pelo ponto desejado porque de certa forma você já tá assumindo que a derivada exista em qualquer ponto, já que f'(x) é a derivada de f para um ponto arbitrário x. É claro que se você já sabe que a derivada em um certo ponto y existe, então você pode calcular f'(x) e depois substituir pelo ponto y, mas pra se provar a existência, é melhor partir pela definição.