Resolver a função exponencial

Considere a função ℎ: [−1, ∞) → ℝ , tal que  h(x) = (x/2). e^x 
A soma das soluções da equação h(x)=h(x)^-1 é:

(A)  e + ln  (2)  
(B)  ln (2)  
(C)  log₂ (e)  
(D)  e + 2  
(E)  e + e⁻¹


gab: B

Para resolver esse problema, precisamos encontrar a soma de todas as soluções reais \( x \) que satisfaçam a equação \( h(x) = h^{-1}(x) \), onde \( h(x) = \dfrac{x}{2}e^{x} \) e \( h^{-1}(x) \) é a função inversa de \( h(x) \).

Passo 1: Entender a relação entre \( h(x) \) e \( h^{-1}(x) \)

A equação \( h(x) = h^{-1}(x) \) implica que \( x \) é igual à sua própria imagem sob a composição de \( h \) e \( h^{-1} \). No entanto, como \( h^{-1}(x) \) é a inversa de \( h(x) \), a equação se simplifica para encontrar os valores de \( x \) tais que:
\[
h(x) = h^{-1}(x) \implies h(x) = x
\]
Passo 2: Resolver a equação \( h(x) = x \)

Substituímos \( h(x) \) na equação:
\[
\frac{x}{2}e^{x} = x
\]
Passo 3: Simplificar a equação

Assumindo que \( x \neq 0 \) (vamos verificar \( x = 0 \) separadamente), dividimos ambos os lados por \( x \):
\[
\frac{e^{x}}{2} = 1
\]
Multiplicamos ambos os lados por 2:
\[
e^{x} = 2
\]
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
\[
x = \ln(2)
\]
Passo 4: Verificar \( x = 0 \) separadamente

Substituímos \( x = 0 \) em \( h(x) \):
\[
h(0) = \frac{0}{2}e^{0} = 0
\]
Além disso, \( h^{-1}(0) \) é o valor de \( x \) tal que \( h(x) = 0 \). Como \( h(0) = 0 \), temos:
\[
h^{-1}(0) = 0
\]
Portanto, \( x = 0 \) também é uma solução.

Passo 5: Encontrar a soma das soluções

Somamos as soluções \( x = \ln(2) \) e \( x = 0 \):
\[
\text{Soma} = \ln(2) + 0 = \ln(2)
\]

Conclusão:

A soma das soluções da equação \( h(x) = h^{-1}(x) \) é \( \ln(2) \).

@al171obrigado! explicação clara!!

Outro modo de analisar, fatorando:

h(x) = x ---> (x/2).e^x = x ---> x.e^x = 2.x --->  x.e^x - 2.x = 0 ---> x.(e^x - 2) = 0

Temos duas possibilidades:

x = 0 

e^x - 2 = 0 ---> e^x = 2 ---> x = ln2