(Simulado Escola Naval) Integral

por **Giovana Martins** Sáb 06 Jul 2024, 22:58

Segue uma integral legal para quem quiser treinar. Posto a resolução em breve se ninguém postar algo.

Resolva a integral abaixo.

\[\mathrm{\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\left[\sqrt{sin(x)}+\sqrt{cos(x)}\right]^4}dx}\]

Spoiler:

por DaoSeek Dom 07 Jul 2024, 10:33

Esboço de uma solução (como spoiler caso alguem mais queira tentar)

Spoiler:

por **Giovana Martins** Dom 07 Jul 2024, 17:52

DaoSeek escreveu:
Esboço de uma solução (como spoiler caso alguem mais queira tentar)

Spoiler:
Faça \(u = \sqrt{\tan x} \implies du = \dfrac{1}{2 \sqrt{\tan x}} \sec^2 x dx \implies 2u \, du = \sec^2x dx\). Com isso:

\( I = \displaystyle \int_{0}^{\pi / 2}\frac{1}{\left[\sqrt{\sin(x)}+\sqrt{\cos(x)}\right]^4}dx \implies \)

\(I = \displaystyle \int_0^{\infty} \dfrac{2u}{(u+1)^4} du = \int_0^{\infty} 2(u+1)^{-3} - 2(u+1)^{-4} du = \dfrac 13\)

Excelente. Foi a forma que eu fiz também.

Não tentei, mas do jeito que está a expressão está com uma "cara" de que sai algo por coordenadas polares também.

Muito obrigada!