UFU - 99

(UFU-99) Determine a equação da circunferência inscrita no triângulo formado pelas retas, cujas equações são y=0; y=√3x e y=-√3x + 2√3.


Sem gabarito. 
obs.: o x está fora da raiz.

Sejam as retas:
r: y = 0
s: y = x√3
t: y = -x√3 + 2√3
A intersecção A entre r e s é fácil: (0,0)
Entre r e t, B: y = 0 => 0 = -x√3 + 2√3 <=> x = 2 => B(2,0)
Entre s e t, C: x√3 = -x√3 + 2√3 <=> 2x√3 = 2√3 <=> x = 1 => y = √3 => C(1,√3).
É de se notar que esse triângulo é equilátero. Basta notar antes que é isósceles (AC = BC), depois calcular, por exemplo, AC² = 1² + √3² = 4 => AC = 2 = AB => é equilátero.
No triângulo equilátero, baricentro e incentro são um mesmo ponto. E o baricentro é como a média das coordenadas. Das abscissas: 1/3 (0 + 2 + 1) = 1 e das ordenadas: 1/3 (0 + 0 + √3) = √3/3. Logo o centro do círculo inscrito é (1,√3/3). Falta o raio. Você pode fazer de várias formas. Vou usar a área:
St = L²√3/4 = √3. Por outro lado, St = pr, com p o semiperímetro, que é 1/2 (2 + 2 + 2) = 3 => √3 = 3r => r = √3/3. Ora, a equação é (x - 1)² + (y - √3/3)² = 1/3.