integral escola naval

por Júliawww_520 Dom 26 Fev 2023, 12:34

Qual o valor de [latex]\int \left ( cossecx.secx \right )^{-2}dx[/latex]

Nessa questão eu entendi a resolução até certo ponto, gostaria que me explicassem duas coisas.
I. Para fazer aparecer o 2senxcosx dentro da integral é necessário multiplicá-la por 1/4?
[latex]\frac{1}{4}[/latex][latex]\int \left ( 2senxcox \right )^{2}dx[/latex]

II. Como o [latex]sen^{2}2x[/latex]virou [latex]\frac{1-cos4x}{2}[/latex]?

mage url: https://servimg.com/view/20407644/16

essa resolução foi feita pelo professor Renato Madeira.

por **Giovana Martins** Dom 26 Fev 2023, 13:54

Veja se você entende. Do contrário, avise-me.

[latex]\\\mathrm{Do\ integrando:\ csc(x)sec(x)=\frac{1}{sin(x)cos(x)}=\frac{2}{2sin(x)cos(x)}}\\\\ \mathrm{Identidade\ trigonom\acute{e}trica:\ sin(2x)=2sin(x)cos(x)}\\\\ \mathrm{Manipulando\ o\ integrando:\ csc(x)sec(x)=\frac{2}{2sin(x)cos(x)}=\frac{2}{sin(2x)}}\\\\ \mathrm{Da\ integral:\int [csc(x)sin(x)]^{-2}dx=\int \left [ \frac{2}{sin(2x)} \right ]^{-2}dx=\int \left [ \frac{sin^2(2x)}{4} \right ]dx}\\\\ \mathrm{Manipulando\ a\ integral:\int [csc(x)sec(x)]^{-2}dx=\frac{1}{4}\int [sin^2(2x)]dx}\\\\ \mathrm{Identidade\ trigonom\acute{e}trica:sin^2\left ( \frac{\theta}{2} \right )=\frac{1-cos(\theta)}{2}}\\\\ \mathrm{Fazendo\ \theta=4x,vem:sin^2(2x)=\frac{1-cos(4x)}{2}}\\\\ \mathrm{Ent\tilde{a}o:\int [csc(x)sec(x)]^{-2}dx=\frac{1}{8}\int [1-cos(4x)]dx=\frac{1}{32}[4x-sin(4x)]+C}[/latex]

por Júliawww_520 Dom 26 Fev 2023, 19:25

Giovana Martins escreveu:
Veja se você entende. Do contrário, avise-me.

[latex]\\\mathrm{Do\ integrando:\ csc(x)sec(x)=\frac{1}{sin(x)cos(x)}=\frac{2}{2sin(x)cos(x)}}\\\\ \mathrm{Identidade\ trigonom\acute{e}trica:\ sin(2x)=2sin(x)cos(x)}\\\\ \mathrm{Manipulando\ o\ integrando:\ csc(x)sec(x)=\frac{2}{2sin(x)cos(x)}=\frac{2}{sin(2x)}}\\\\ \mathrm{Da\ integral:\int [csc(x)sin(x)]^{-2}dx=\int \left [ \frac{2}{sin(2x)} \right ]^{-2}dx=\int \left [ \frac{sin^2(2x)}{4} \right ]dx}\\\\ \mathrm{Manipulando\ a\ integral:\int [csc(x)sec(x)]^{-2}dx=\frac{1}{4}\int [sin^2(2x)]dx}\\\\ \mathrm{Identidade\ trigonom\acute{e}trica:sin^2\left ( \frac{\theta}{2} \right )=\frac{1-cos(\theta)}{2}}\\\\ \mathrm{Fazendo\ \theta=4x,vem:sin^2(2x)=\frac{1-cos(4x)}{2}}\\\\ \mathrm{Ent\tilde{a}o:\int [csc(x)sec(x)]^{-2}dx=\frac{1}{8}\int [1-cos(4x)]dx=\frac{1}{32}[4x-sin(4x)]+C}[/latex]

Olá. Não entendi essa última parte. De onde surgiu esse 4x? refiz as contas e não consegui chegar nele Sad

por **Giovana Martins** Dom 05 Mar 2023, 16:57

Desculpe a demora para responder.

[latex]\\\mathrm{\int [1-cos(4x)]dx=\int (1)dx-\int cos(4x)dx}\\\\ \mathrm{\int [1-cos(4x)]dx=x-\frac{1}{4}sin(4x)+C}\\\\ \mathrm{\int [1-cos(4x)]dx=\frac{1}{4}[4x-sin(4x)]+C}[/latex]

Como nós temos o fator 1/8 multiplicando a integral, surge, portanto, o fator 1/32 da resposta ao multiplicar 1/4 por 1/8.