Integral (escola naval)

B = integral (cos2xsen4x) dx no intervalo (0; π/2 ), o valor de A/B é:

Eu já achei o valor de A que é (4/7√7) mas estou com dificuldade de achar o B.
A minha integral deu (-½)(cos6x/6) + (cos2x/2), usei as fórmulas de Werner que recentemente aprendi aqui no fórum.
Usando F(0) - F(π/2) eu cheguei em ⅙

Fazendo a razão A/B meu resultado foi igual a (24√7/49)

Gabarito: (6√7/49)

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Transformando produto em soma, temos
\[
\cos (2x) \cdot \sin (4x) = \frac{1}{2} \left[ \sin(3x) + \sin (x) \right]
\]
Assim, podemos calcular o valor de \(b\)
\[
\begin{aligned}
b & = \int_0^{\pi/2} \cos(2x) \cdot \sin(4x) \ \mathrm{d} x \\
& = \frac{1}{2} \cdot \int_0^{\pi/2} \sin (6x) + \sin (2x) \ \mathrm{d} x \\
& = \frac{1}{2} \left[ -\frac{\cos(6x)}{6} - \frac{\cos (2x)}{2} \right]\Big |_0^{\pi/2} \\
& = \frac{1}{2} \left[ \frac{\cos(6x)}{6} + \frac{\cos(2x)}{2} \right]\Big|_{\pi/2}^0 \\
& = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{6} + \frac{1}{2} - \left( -\frac{1}{6} -\frac{1}{2} \right) \right] \\
& = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\\
& = \frac{2}{3}
\end{aligned}
\]
Utilizando o valor encontrado de \(a = \frac{4}{7\sqrt{7}} \), ficamos com
\[
a/b = \frac{4}{7\sqrt{7}} \cdot \frac{3}{2} = \frac{6 \sqrt{7}}{49},
\]
como esperado.

Edição: tivemos a infeliz coincidência do meu erro na transformação do produto em soma incorrer no mesmo resultado.

Oi, bom dia.

Percebi que meu erro foi na hora de transformar soma em produto, obrigada.
Como você fez essa transformação? Usando a fórmula eu não consigo chegar nisso, o meu sempre dá ½(sen6x + sen2x)

Olá, boa tarde. Aqui seguem as fórmulas de transformação. Observe com atenção o item 5:

1. \( \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right) \)

2. \( \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \left( \frac{\alpha-\beta}{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right)\)

3. \( \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha -\beta}{2} \right)\)

4. \( \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \left( \frac{\alpha +\beta}{2} \right)\sin \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right)\).

5. \( \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left[ \sin (\alpha +\beta) + \sin(\alpha -\beta) \right] \)

6. \( \sin \beta \cos \alpha = \frac{1}{2} \left[ \sin (\alpha + \beta) - \sin (\alpha -\beta) \right] \)

7. \( \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left[ \cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha -\beta) \right]\)

8. \( \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left[ \cos (\alpha -\beta) - \cos (\alpha +\beta) \right] \)

Júliawww_520 escreveu:Oi, bom dia.

Percebi que meu erro foi na hora de transformar soma em produto, obrigada.
Como você fez essa transformação? Usando a fórmula eu não consigo chegar nisso, o meu sempre dá ½(sen6x + sen2x)

De fato, o resultado é \( \frac{1}{2} \left( \sin(6x) + \sin(2x) \right)\). O erro da sua resolução reside na aplicação dos limites de integração, provavelmente. De qualquer modo, corrigi minha postagem, veja se é suficiente para dirimir eventuais dúvidas.