[Integral Escola Naval - 2015]

por RamonLucas Qua 02 Set 2015, 23:53

(Concurso de Admissão à Escola naval / CPAEN-2015. Prova: Amarela. Questão 3)

Resolvendo $\int \frac{\begin{bmatrix} tg(2x)cos^{4}(2x) -\frac{sen^{4(2x)}}{cotg(2x)} \end{bmatrix}}{e^{2tgx}cos(4x)\sqrt{1-sec^{2}(2x})} sec^{2} (x) dx$ encontra-se

(A) $-\frac{1}{2}e^{2x}sen(2x)+c$

(B) $-\frac{1}{2}e^{-2tgx}+c$

(C) $\frac{1}{2}e^{-2x}sen(2x)+c$

(D) $-\frac{1}{2}e^{2x}cosx+c$

(E) $-\frac{1}{2}e^{-2x}sen(4x)+c$

por PedroCunha Qui 03 Set 2015, 00:44

Olá, Ramon.

Só encontraremos o gabarito se a integral for a seguinte:

\\ \int \frac{\left[ \tan(2x) \cdot \cos^4(2x) - \frac{\sin^4(2x)}{\cot(2x)} \right]}{e^{2\tan(2x)} \cdot \cos(4x) \cdot \sqrt{-1 + \sec^2(2x)}}} \cdot \sec^2 x \,\, dx , com \\ 0 < x < \frac{\pi}{2} \text{ ou } \pi < x < \frac{3\pi}{2} .

Vamos começar ajeitando ela:

\\ \int \frac{\left[ \tan(2x) \cdot \cos^4(2x) - \frac{\sin^4(2x)}{\cot(2x)} \right]}{e^{2\tan(x)} \cdot \cos(4x) \cdot \sqrt{-1 + \sec^2(2x)}}} \cdot \sec^2 x \,\, dx \\\\ = \int \frac{\tan(2x) \cdot \cos^4(2x) - \sin^4(2x) \cdot \tan(2x)}{e^{2\tan(x)} \cdot \cos(4x) \cdot \sqrt{\tan^2(2x)}} \cdot \sec^2x dx \\\\ = \int \frac{\tan(2x) \cdot (\cos^4(2x) - \sin^4(2x))}{e^{2\tan(x)} \cdot \cos(4x) \cdot |\tan(2x)|} \cdot \sec^2x \,\, dx \\\\ = \int \frac{\tan(2x) \cdot (\cos^2(2x) + \sin^2(2x)) \cdot (\cos^2(2x) - \sin^2(2x))}{e^{2\tan(x)} \cdot \cos(4x) \cdot \tan(2x)} \cdot \sec^2 x\,\, dx \\\\ = \int \frac{1 \cdot (\cos^2(2x) - 1 + \cos^2(2x) )}{e^{2\tan(x)} \cdot \cos(4x)} \cdot \sec^2x \,\, dx \\\\ = \int \frac{\cos(4x)}{e^{2\tan(x)} \cdot \cos(4x)} \cdot \sec^2x \,\, dx = \int \frac{\sec^2 x}{e^{2\tan(x)}} \,\, dx

* Identidades utilizadas até aqui:

\\ \begin{cases} a^4-b^4 = (a^2+b^2) \cdot (a^2-b^2) \\ \sin^2x = 1- \cos^2x \\ \cos(2x) = 2\cos^2x - 1 \end{cases} .

Fazendo a substituição: \\ \tan x = u \Leftrightarrow \sec^2x \,\, dx = du , temos:

\\ \int \frac{1}{e^{2u}} \cdot \sec^2x \,\, dx = \int e^{-2u} du = -\frac{e^{-2u}}{2} + C \Leftrightarrow \boxed{\boxed{ -\frac{e^{-2\tan(x)}}{2} + C}}

*Obs.: \\ \int e^{f(x)} \,\, dx = \frac{1}{f'(x)} \cdot e^{f(x)} + C

É isso.

Qualquer dúvida é só falar.

Abraços,
Pedro

por GBRezende Ter 30 Jul 2019, 15:37

Olá! As equações estão dando inválidas, queria muito a resolução desta integral. Alguém poderia me ajudar, ou consegue refazer a questão? Muito obrigado!

por **mauk03** Qua 31 Jul 2019, 15:50

GBRezende escreveu:Olá! As equações estão dando inválidas, queria muito a resolução desta integral. Alguém poderia me ajudar, ou consegue refazer a questão? Muito obrigado!

Usando as mesmas identidades e assumindo os mesmos intervalos para x que o PedroCunha (de forma que o termo em modulo, |tan(2x)|, saia positivo e que termos iguais no numerador e denominador possam ser cortados), tem-se:
$\frac{\begin{bmatrix} \tan(2x)\cos^{4}(2x) -\frac{\sin^{4}(2x)}{\cot (2x)} \end{bmatrix}}{e^{2\tan (x)}\cos(4x)\sqrt{1-\sec^{2}(2x)}} \sec^{2} (x)=\frac{\tan(2x)\begin{bmatrix} \cos^{4}(2x) -\sin^{4}(2x) \end{bmatrix}}{e^{2\tan (x)}\cos(4x)\tan (2x)} \sec^{2} (x)=$
$=\frac{\begin{bmatrix} \cos^{2}(2x) -\sin^{2}(2x) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos^{2}(2x) +\sin^{2}(2x) \end{bmatrix}}{e^{2\tan (x)}\cos(4x)} \sec^{2} (x)=\frac{\cos (4x)}{e^{2\tan (x)}\cos(4x)} \sec^{2} (x)=$
$=\frac{ \sec^{2} (x)}{e^{2\tan (x)}}$

Logo:
$\int \frac{\begin{bmatrix} \tan(2x)\cos^{4}(2x) -\frac{\sin^{4}(2x)}{\cot (2x)} \end{bmatrix}}{e^{2\tan (x)}\cos(4x)\sqrt{1-\sec^{2}(2x)}} \sec^{2} (x) dx=\int \frac{ \sec^{2} (x)}{e^{2\tan (x)}}dx$

Basta fazer a substituição feita na outra resolução agora.