Escola Naval - 2015 : Q12

12) O ângulo que a reta normal à curva C, definida por f(x)=x^x-1, no ponto 
p(2,2) , faz  com a reta  r: 3x+2y-5=0 é:

Primeiro vamos encontrar a eq. da reta normal à curva C no ponto (2,2). Veja:
y - f(p) = -(1/f'(p))(x-p) ---> eq. da reta normal

f(x) = x^(x-1) ---> lny = (x-1)ln(x) --> y = e^(x-1)ln(x)

y' = e^u . [(x-1)'.ln(x) + (x-1)ln'(x) = y' = x^(x-1) . (ln(x)
.......
eq. da reta normal: y - 2 = [-1/[2ln(2)-1]](x-2)
Pontos em que a reta passa: A(2,2) B(1,y1)

y1 = 3+4ln(2) / 2ln(2) + 1 --> Basta substituir 1 na eq.

Vetor diretor da reta normal:
BA = (1 , 2 - y1) = (1, -1/2ln(2)+1)

Vetor diretor da reta "r":
C(1,1)     D(-1,4)
CD = (2,-3)

lBAl = V(1 + (1/[2ln(2)+1]²)) = V(2ln(2)+1)²+1 / 2ln(2)+1

lCDl = V13

Bastando agora calcular o ângulo entre dois vetores (BA e CD):
costheta = lAB.CDl / lABllCDl

theta = arccos((5+4ln2)(13(2+4ln2+4ln²(2))^-1/2) --> alternativa D)

Um abraço, Lauro.

eq. da reta normal: y - 2 = [-1/[2ln(2)-1]](x-2),
eu não entendi porque subtraiu um no denominador. -1/[2ln(2)-1
também não compreendi como encontrou o ponto B

n consegui entender