[Escola Naval - 2015 - Retas]

por RamonLucas Qui 03 Set 2015, 22:46

(Concurso de Admissão à Escola naval / CPAEN-2015. Prova: Amarela. Questão 6)

As retas $r_{1}:2x-y+1=0; r_{2}: x+y+3 \:\, \, \, \, e\, \, \, \, \, r_{3}:\alpha x+y-5=0$ concorrem em um mesmo ponto P para determinado valor de $\alpha \epsilon \Re$ . Sendo assim, pode-se afirmar que o valor da expressão $cos\left ( \frac{\alpha \pi }{3} \right )-3sen^{3}\begin{bmatrix}\frac{(-3-\alpha )\pi }{8} \end{bmatrix}-\frac{5\sqrt{3}}{2}tg\left ( -\frac{\alpha \pi }{6} \right )$ é

$(A)\, 3\left ( 1+\frac{\sqrt{2}}{4} \right )$

$(B)\, 2\left -\frac{3\sqrt{2}}{4}$

$(C)\, 2\left +\frac{\sqrt{2}}{8}$

$(D)\, 3\left +\frac{\sqrt{2}}{4}$

${\color{Red} (E)}\, 3\left ( 1-\frac{\sqrt{2}}{4} \right )$

por PedroCunha Qui 03 Set 2015, 23:52

Olá, Ramon.

Vamos encontrar o ponto de concorrência das retas r₁ e r₂:

\\ \begin{cases} 2x-y+1 = 0 \therefore y = 2x+1 \\ x+y+3 = 0 \therefore y = -x-3 \end{cases} \\\\ \circ 2x+1 = -x-3 \therefore 3x = -4 \Leftrightarrow x = -\frac{4}{3} \Leftrightarrow y = -\frac{8}{3} + 1 = -\frac{5}{3}

Então r₃ tem que passar por \\ A\left( -\frac{4}{3}, -\frac{5}{3} \right) . Assim:

\\ \alpha \cdot -\frac{4}{3} - \frac{5}{3} - 5 = 0 \therefore -4\alpha - 5 - 15 = 0 \therefore \alpha = -5 .

Logo, a expressão pedida é:

\\ \cos \left( \frac{-5\pi}{3} \right) - 3\sin^3 \left[ \frac{\pi}{4} \right] - \frac{5\sqrt{3}}{2} \tan \left(\frac{5\pi}{6} \right) = \frac{1}{2} - 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt2}{2} - \frac{5\sqrt3}{2} \cdot \left(-\sqrt3\right) \\\\ = \frac{1}{2} - \frac{3\sqrt2}{4} + \frac{5}{2} = \boxed{\boxed{ 3 \cdot \left(1 - \frac{\sqrt2}{4} \right) }}

Uma ilustração da situação:

[Escola Naval - 2015 - Retas] B533hu

Att.,
Pedro

por RamonLucas Ter 10 Nov 2015, 20:23

PedroCunha escreveu:Olá, Ramon.

Vamos encontrar o ponto de concorrência das retas r₁ e r₂:

\\ \begin{cases} 2x-y+1 = 0 \therefore y = 2x+1 \\ x+y+3 = 0 \therefore y = -x-3 \end{cases} \\\\ \circ 2x+1 = -x-3 \therefore 3x = -4 \Leftrightarrow x = -\frac{4}{3} \Leftrightarrow y = -\frac{8}{3} + 1 = -\frac{5}{3}

Então r₃ tem que passar por \\ A\left( -\frac{4}{3}, -\frac{5}{3} \right) . Assim:

\\ \alpha \cdot -\frac{4}{3} - \frac{5}{3} - 5 = 0 \therefore -4\alpha - 5 - 15 = 0 \therefore \alpha = -5 .

Logo, a expressão pedida é:

\\ \cos \left( \frac{-5\pi}{3} \right) - 3\sin^3 \left[ \frac{\pi}{4} \right] - \frac{5\sqrt{3}}{2} \tan \left(\frac{5\pi}{6} \right) = \frac{1}{2} - 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt2}{2} - \frac{5\sqrt3}{2} \cdot \left(-\sqrt3\right) \\\\ = \frac{1}{2} - \frac{3\sqrt2}{4} + \frac{5}{2} = \boxed{\boxed{ 3 \cdot \left(1 - \frac{\sqrt2}{4} \right) }}

Uma ilustração da situação:

Att.,
Pedro

PedroCunha, obrigado pela ajuda.