[Escola Naval - 2015]

por RamonLucas 2/9/2015, 11:32 pm

(Concurso de Admissão à Escola naval / CPAEN-2015. Prova: Amarela. Questão 1)

Em uma P.G. , $a_{4}=\frac{2(k^{2}+1)^{2}}{5k}$ e $a_{1}=\frac{25k^{2}}{4(k^{2}+1)}$ , onde k ∈ ℝ^* ₊. para o valor médio M de K, no intervalo onde a P.G. é descrescente, o resto da divisão do polinômio $P(x) = \frac{5}{4}.x^{5} -\frac{5}{2}.x^{4}+25x^{2}-10$ pelo binômio $\left ( Mx -\frac{15}{8} \right )$ é

(A) $\frac{1039}{32}$

(B) $\frac{1231}{16}$

(C) $\frac{1103}{32}$

(D) $\frac{1487}{32}$

(E) $\frac{1103}{16}$

por PedroCunha 3/9/2015, 1:04 am

Olá, Ramon.

\\ \frac{a_4}{a_1} = q^3 \therefore \frac{2(k^2+1)^2}{5k} \cdot \frac{5(k^2+1)}{25k^2} = q^3 \therefore \frac{10}{125} \cdot \left( \frac{k^2+1}{k} \right)^3 = q^3 \\\\ \Leftrightarrow q = \frac{\sqrt[3]{10}}{5} \cdot \frac{k^2+1}{k}

Para a P.G. ser decrescente:

\\ 0 < \frac{\sqrt[3]{10}}{5} \cdot \frac{k^2+1}{k} < 1 \Leftrightarrow k^2 - \frac{5}{\sqrt[3]{10}}k + 1 < 0

Observe agora o seguinte resultado: Inequação

Não creio que era isso que tinham em mente.

Imagino que tenha algum erro no enunciado.

Att.,
Pedro

por Zéh 3/9/2015, 7:44 pm

Pedro, a postagem do Ramon está errada.

$a_{1} = \frac{25k^{2}}{4(k^{2} + 1)}$

por PedroCunha 3/9/2015, 8:15 pm

Obrigado pela correção, Zéh.

Com esse valor, a inequação passa a ser

k^2 - \frac{5}{2}k + 1 < 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2} < k < 2

O valor médio de k é: \\ \frac{1}{2 - \frac{1}{2}} \int_{\frac{1}{2}}^2 k dk = \frac{2}{3} \cdot \left( \frac{2^2}{2} - \frac{ \left( \frac{1}{2} \right)^2}{2} \right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{15}{8} = \frac{5}{4}
ou ainda M = \frac{2 + \frac{1}{2}}{2} = \frac{5}{4} .

Assim, queremos encontrar: \frac{5x}{4} - \frac{15}{8} = 0 \therefore \frac{5x}{4} = \frac{15}{8} \therefore x = \frac{3}{2} \Leftrightarrow P\left( \frac{3}{2} \right) . Portanto, o valor pedido é:

\frac{5}{4} \cdot \left( \frac{3}{2} \right)^5 - \frac{5}{2} \cdot \left( \frac{3}{2} \right)^4 + 25 \cdot \left( \frac{3}{2} \right)^2 - 10 = \frac{5515}{128}

Será que eu entendi errado o que eles queriam dizer por valor médio?

Att.,
Pedro

por RamonLucas 3/9/2015, 9:58 pm

PedroCunha escreveu:Olá, Ramon.

\\ \frac{a_4}{a_1} = q^3 \therefore \frac{2(k^2+1)^2}{5k} \cdot \frac{5(k^2+1)}{25k^2} = q^3 \therefore \frac{10}{125} \cdot \left( \frac{k^2+1}{k} \right)^3 = q^3 \\\\ \Leftrightarrow q = \frac{\sqrt[3]{10}}{5} \cdot \frac{k^2+1}{k}

Para a P.G. ser decrescente:

\\ 0 < \frac{\sqrt[3]{10}}{5} \cdot \frac{k^2+1}{k} < 1 \Leftrightarrow k^2 - \frac{5}{\sqrt[3]{10}}k + 1 < 0

Observe agora o seguinte resultado: Inequação

Não creio que era isso que tinham em mente.

Imagino que tenha algum erro no enunciado.

Att.,
Pedro

Pedro, muito Obrigado pela ajuda. Eu consertei a questão, falta de atenção Embarassed