[Escola Naval - 2015 - Geometria]

por RamonLucas Qui 03 Set 2015, 23:38

(Concurso de Admissão à Escola naval / CPAEN-2015. Prova: Amarela. Questão 8 )

Um plano $\pi _{1}$ contém os pontos M(-1,3,2) e N(-2,0,1). Se $\pi _{1}$ é perpendicular ao plano $\pi _{2}:3x-2y+z-15=0$ , é possível dizer que o ângulo entre $\pi _{1}$ e o plano $\pi _{3}$ $: x+y+2z-7=0$ vale

$(A)arccos \left ( \frac{8\sqrt{2}}{15} \right )$

$(B)arccot \left ( \frac{4\sqrt{2}}{15} \right )$

$(C)arccos \left ( -\frac{8\sqrt{2}}{5} \right )$

$(D)arccos \left ( \frac{61}{45\sqrt{2}} \right )$

$(E)arctg \left ( -\frac{\sqrt{194}}{16} \right )$

Gabarito: E.

por **Willian Honorio** Dom 28 Jan 2018, 19:18

por **Lucas Pedrosa.** Seg 29 Jan 2018, 21:14

\\\overrightarrow{MN}\in \pi _{1}\rightarrow \overrightarrow{MN}=(-1,-3,-1)\\\\O\;Vetor\;\overrightarrow{V}\;normal\;ao\;plano\;\pi _{2}\;tamb\acute{e}m\;pertence\;a\;\pi _{1},\;pois\;\pi _{2}\perp \pi _{1}:\\\\\overrightarrow{V}\in \pi _{1}\rightarrow \overrightarrow{V}=(3,-2,1)\\\\Um\;vetor\;normal\;\overrightarrow{n_{1}}\;ao\;plano\;\pi _{1}\;\acute{e}\;dado\;pelo\;produto\;vetorial\;de\;\overrightarrow{V}\;por\;\overrightarrow{MN}:\\\\\overrightarrow{n_{1}}=\overrightarrow{V}x\overrightarrow{MN}\rightarrow \overrightarrow{n_{1}}=(-5,-2,11)\\\\o\;\hat{a}ngulo\;entre\;os\;planos\;\pi _{1}\;e\;\pi _{3}\;\acute{e}\;dado\;por:

por **Lucas Pedrosa.** Seg 29 Jan 2018, 21:15

LUCASXK7 escreveu:\\\overrightarrow{MN}\in \pi _{1}\rightarrow \overrightarrow{MN}=(-1,-3,-1)\\\\O\;Vetor\;\overrightarrow{V}\;normal\;ao\;plano\;\pi _{2}\;tamb\acute{e}m\;pertence\;a\;\pi _{1},\;pois\;\pi _{2}\perp \pi _{1}:\\\\\overrightarrow{V}\in \pi _{1}\rightarrow \overrightarrow{V}=(3,-2,1)\\\\Um\;vetor\;normal\;\overrightarrow{n_{1}}\;ao\;plano\;\pi _{1}\;\acute{e}\;dado\;pelo\;produto\;vetorial\;de\;\overrightarrow{V}\;por\;\overrightarrow{MN}:\\\\\overrightarrow{n_{1}}=\overrightarrow{V}x\overrightarrow{MN}\rightarrow \overrightarrow{n_{1}}=(-5,-2,11)\\\\o\;\hat{a}ngulo\;entre\;os\;planos\;\pi _{1}\;e\;\pi _{3}\;\acute{e}\;dado\;por:

\\\\Cos\theta =\frac{<\overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{3}}> }{|\overrightarrow{n_{1}}||\overrightarrow{n_{3}}|},\;onde\;\overrightarrow{n_{3}}\;\acute{e}\;um\;vetor\;normal\;a\;\pi _{3}\rightarrow \overrightarrow{n_{3}}=(1,1,2)\\\\Cos\theta =\frac{(-5)\cdot 1+(-2)\cdot 1+11\cdot 2}{\sqrt{150}\sqrt{6}}=\frac{1}{2}\\\theta =arc\;cos(\frac{1}{2})\rightarrow \theta =\frac{\pi }{3}

Esta questão foi anulada.